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Wiki-Quellcode von Lösung Zelt

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2024/01/05 16:27
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1 Der Definitionsbereich für a ist {{formula}}]0; \sqrt(2,5^2+2,5^2)[ \approx [0; 3,5]{{/formula}} (Obergrenze abgerundet)
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3 Die Höhe //h// ist abhängig von //a//. Durch zweimalige Anwendung des Satzes von Phytagoras lässt sich folgende Formel für die Höhe herleiten:
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5 {{formula}}h \left ( a \right ) = \sqrt{2{,}5^{2} - \frac{1}{2} a^{2}}{{/formula}}
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7 Wenn man diese nun in die Volumenformel einsetzt, ergibt sich die Zielfunktion zu:
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9 {{formula}}V \left ( a \right ) = \frac{1}{3} a^{2} · \sqrt{6{,}25 - \frac{1}{2} a^{2}}{{/formula}}
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11 Kandidaten für Maximalstellen von //V(a)// liefert die Gleichung {{formula}}V'(a)=0{{/formula}}. Viel einfacher erhält man diese Kandidaten, indem man die Ableitung von{{formula}}V^2(a){{/formula}} gleich null setzt:
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13 {{formula}}V^2(a) = \frac{1}{9} a^4 (6.25 - \frac{1}{2} a^2) = \frac{25}{36}a^4 - \frac{25}{18}a^6{{/formula}}
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15 Damit lässt sich viel einfacher rechnen! Ableiten und gleich Null setzen liefert:
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17 {{formula}}(V^2(a))' = \frac{100}{36} a^3 - \frac{1}{3}a^5 \overset{!}{=} 0{{/formula}}
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19 {{formula}}\Rightarrow a^3(\frac{100}{36} - \frac{1}{3}a^2) = 0{{/formula}}
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21 {{formula}}\Rightarrow a_1 = 0 \wedge \frac{100}{36} = \frac{1}{3}a^2{{/formula}}
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23 {{formula}}a_{2,3} = \pm \sqrt{\frac{300}{36}} \approx \pm 2{,}89{{/formula}}
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25 Die Lösung {{formula}}a=2{,}89{{/formula}} ist die einzige, die im Definitionsbereich liegt und somit die gesuchte Maximalstelle. Bemerkung: Die Lösung {{formula}}a=0{{/formula}} (Kantenlänge Null) ist ein Minimum.
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27 {{formula}}V_{max}{{/formula}} ergibt sich durch Einsetzen von //a// in //V//:
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29 {{formula}}V \left ( \sqrt{\frac{300}{36}} \right ) = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{300}{36}}^{2} · \sqrt{6{,}25 - \frac{1}{2} \sqrt{\frac{300}{36}}^{2}} \approx 4.01{{/formula}}
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31 Die zugehörige Höhe durch Einsetzen von //a// in //h//:
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33 {{formula}}h \left ( \sqrt{\frac{300}{36}} \right ) = \sqrt{2{,}5^{2} - \frac{1}{2} \sqrt{\frac{300}{36}}^{2}} \approx 1{,}44{{/formula}}