Zum Inhalt springen

Lösung Zelt

Version 1.1 von Holger Engels am 2024/01/05 13:06

Die Höhe h ist abhängig von a. Durch zweimalige Anwendung des Satzes von Phytagoras lässt sich folgende Formel für die Höhe herleiten:

h \left ( a \right ) = \sqrt{2{,}5^{2} - \frac{1}{2} a^{2}}

Wenn man diese nun in die Volumenformel einsetzt, ergibt sich die Zielfunktion zu:

V \left ( a \right ) = \frac{1}{3} a^{2} · \sqrt{6{,}25 - \frac{1}{2} a^{2}}

Kandidaten für Maximalstellen von V(a) liefert die Gleichung V'(a)=0. Viel einfacher erhält man diese Kandidaten, indem man die Ableitung vonV^2(a) gleich null setzt:

V^2(a) = \frac{1}{9} a^4 (6.25 - \frac{1}{2} a^2) = \frac{25}{36}a^4 - \frac{25}{18}a^6

Damit lässt sich viel einfacher rechnen! Ableiten und gleich Null setzen liefert:

(V^2(a))' = \frac{100}{36} a^3 - \frac{1}{3}a^5 \overset{!}{=} 0

\Rightarrow a^3(\frac{100}{36} - \frac{1}{3}a^2) = 0

\Rightarrow a_1 = 0 \wedge \frac{100}{36} = \frac{1}{3}a^2

a_{2,3} \approx 2,89

Die Lösung a1=0 (Kantenlänge Null) ist offensichtlich ein Minimum. Negative a (negative Kantenlängen) ergeben im Anwendungskontext keinen Sinn. Somit ist a=2,89 die gesuchte Maximalstelle.