Lösung Zelt
Version 1.1 von Holger Engels am 2024/01/05 12:06
Die Höhe h ist abhängig von a. Durch zweimalige Anwendung des Satzes von Phytagoras lässt sich folgende Formel für die Höhe herleiten:
\[h \left ( a \right ) = \sqrt{2{,}5^{2} - \frac{1}{2} a^{2}}\]
Wenn man diese nun in die Volumenformel einsetzt, ergibt sich die Zielfunktion zu:
\[V \left ( a \right ) = \frac{1}{3} a^{2} · \sqrt{6{,}25 - \frac{1}{2} a^{2}}\]
Kandidaten für Maximalstellen von V(a) liefert die Gleichung \(V'(a)=0\). Viel einfacher erhält man diese Kandidaten, indem man die Ableitung von\(V^2(a)\) gleich null setzt:
\[V^2(a) = \frac{1}{9} a^4 (6.25 - \frac{1}{2} a^2) = \frac{25}{36}a^4 - \frac{25}{18}a^6\]
Damit lässt sich viel einfacher rechnen! Ableiten und gleich Null setzen liefert:
\[(V^2(a))' = \frac{100}{36} a^3 - \frac{1}{3}a^5 \overset{!}{=} 0\]
\[\Rightarrow a^3(\frac{100}{36} - \frac{1}{3}a^2) = 0\]
\[\Rightarrow a_1 = 0 \wedge \frac{100}{36} = \frac{1}{3}a^2\]
\[a_{2,3} \approx 2,89\]
Die Lösung a1=0 (Kantenlänge Null) ist offensichtlich ein Minimum. Negative a (negative Kantenlängen) ergeben im Anwendungskontext keinen Sinn. Somit ist a=2,89 die gesuchte Maximalstelle.