BPE 16 Einheitsübergreifend

Aufgabe 1  LGS graphisch (gAN) 𝕃

Das Gleichungssystem

mit \( x,y \in \mathbb{R} \) hat unendlich viele Lösungen.

1. Stelle diese Lösungen in einem Koordinatensystem grafisch dar. Gib die Lösung mit \(y=1\) an.

Im gegebenen Gleichungssystem wird die Gleichung II durch die folgende Gleichung mit \(a,b \in \mathbb{R} \) ersetzt:

2. Gib einen Wert von \(a\) und einen Wert von \(b\) an, für die das aus \(\text{I}\) und \(\text{II}^*\) bestehende Gleichungssystem keine Lösung hat. Begründe deine Angabe.

#iqb

Aufgabe 2  Doppelpyramide (eAN) 𝕃

Gegeben sind die Punkte \(A(5|-5|12), B(5|5|12)\) und \(C(-5|5|12)\).

1. Zeige, dass das Dreieck \(ABC\) gleichschenklig ist.
2. Begründe, dass \(A, B\) und \(C\) Eckpunkte eines Quadrats sein können, und gib die Koordinaten des vierten Eckpunkts \(D\) dieses Quadrates an.

Im Folgenden wird die rechts abgebildete Doppelpyramide betrachtet. Die beiden Teilpyramiden \(ABCDS\)
und \(ABCDT\)sind gleich hoch. Der Punkt \(T\) liegt im Koordinatenursprung, der Punkt \(S\)ebenfalls auf der \(z\)-Achse.

Die Seitenfläche \(BCT\) liegt in einer Ebene \(E\).

3. Bestimme eine Gleichung von \(E\)in Koordinatenform. (zur Kontrolle: \(12y-5z = 0\))
4. Bestimme die Größe des Winkels, den die Seitenfläche \(BCT\) mit der Fläche \(ABCD\) einschließt.

\(E\) gehört zur Schar der Ebenen \(E_k: ky-5z = 5k - 60\) mit \(k \in \mathbb{R}\).

5. Alle Ebenen der Schar schneiden sich in einer Gerade. Weise nach, dass die Kante \(\overline{BC}\) auf dieser Gerade liegt.
6. Ermittle diejenigen Werte von \(k\), für die \(E_k\) mit der Seitenfläche \(ADS\) mindestens einen Punkt gemeinsam hat.
7. Die Seitenfläche \(ADT\) liegt in der Ebene \(F\). Gib einen Normalenvektor von \(F\) an und begründe deine Angabe, ohne die Koordinaten von \(A\) und \(D\) zu verwenden. Bestimme denjenigen Wert von \(k\), für den \(E_k\) senkrecht zu \(F\) steht.
8. Die Doppelpyramide wird so um die \(x\)-Achse gedreht, dass die bisher mit \(BCT\) bezeichnete Seitenfläche in der \(xy\)-Ebene liegt und der bisher mit \(S\) bezeichnete Punkt eine positive \(y\)-Koordinate hat. Bestimme diese \(y\)-Koordinate und veranschauliche dein Vorgehen durch eine Skizze.

#iqb

Aufgabe 3  Gleichschenkliges Dreieck und Flächeninhalt (eAN) 𝕃

Für \(k \in \mathbb{R} \) mit \(0<k\leq 6\) werden die Pyramiden \(ABCD_k \) mit \(A(0|0|0), B(4|0|0), C(0|4|0)\) und \( D_k(0|0|k)\) betrachtet (vgl. Abbildung)
 

1. Begründe, dass das Dreieck \(BCD_k\) gleichschenklig ist.
2. Der Mittelpunkt der Strecke \(\overline{BC}\) ist \(M(2|2|0)\).
   Begründe, dass \(|\overline{MD_k}|=\)\(\left| \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ k \end{array}\right)\right|\) die Länge einer Höhe des Dreiecks \(BCD_k\) ist.
   Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks \(BCD_k\).

Für jeden Wert von k liegt die Seitenfläche \(BCD_k\) in der Ebene \(L_k\).

3. Bestimme eine Gleichung von \(L_k\) in Koordinatenform. (zur Kontrolle: \(x_1+x_2+\frac{4}{k}\cdot x_3 =4\))
 
4. Ermittle denjenigen Wert von \(k\), für den die Größe des Winkels, unter dem die x₃-Achse die Ebene \(L_k\) schneidet, 30° beträgt.

  

Zusätzlich zu den Pyramiden wird der in der Abbildung 2 gezeigte Quader betrachtet. Die Punkte \(A\) und \(Q(1|1|3)\) sind Eckpunkte des Quaders, die Seitenflächen des Quaders sind parallel zu den Koordinatenebenen.
Für \(k=6\) enthält die Seitenfläche \(BCD_k\) der Pyramide den Eckpunkt \(Q\) des Quaders. Für kleinere Werte von \(k\) schneidet die Seitenfläche \(BCD_k\) den Quader in einem Vieleck.
 
5. Für einen Wert von \(k\) verläuft die Seitenfläche \(BCD_k\) durch die Eckpunkte \(P\) und \(R\) des Quaders. Bestimme diesen Wert von \( k\)   (zur Kontrolle: \(k=4\))
 
6.Gib in Abhängigkeit von \(k\) die Anzahl der Eckpunkte des Vielecks an, in dem die Seitenfläche \(BCD_k\) den Quader schneidet.
 
 
 
 
7. Nun wird die Pyramide \(ABCD_6\) , d. h. diejenige für \(k=6\), betrachtet. Dieser Pyramide werden Quader einbeschrieben (vgl. Abbildung 3). Die Grundflächen der Quader liegen in der x₁x₂-Ebene, haben den Eckpunkt \(A\) gemeinsam und sind quadratisch. Die Höhe \(h\) der Quader durchläuft alle reellen Werte mit \(0<h<6\). Für jeden Wert von \(h\)liegt der Eckpunkt \(Q_h\) in der Seitenfläche \(BCD_6\) der Pyramide. Ermittle die Koordinaten des Punkts \(Q_h\).

#iqb

Aufgabe 4  Raute (eAN) 𝕃

Gegeben sind die Punkte \(A\left(3\left|5\right|5\right)\) und \(B\left(1\left|1\right|1\right)\) sowie die Geraden \(g\) und \(h\), die sich in \(B\) schneiden.
Die Gerade \(g\) hat den Richtungsvektor \(\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right)\), die Gerade \(h\) den Richtungsvektor \(\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)\).

1. Weise nach, dass \(A\) auf \(g\) liegt.
2. Bestimme die Koordinaten zweier Punkte \(C\) und \(D\) so, dass \(C\) auf \(h\) liegt und das Viereck \(ABCD\) eine Raute ist.

#iqb

Aufgabe 5  Geradenschar (eAN) 𝕃

Gegeben ist die Gerade \(g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+\lambda\cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)\) mit \(\lambda\in\mathbb{R}\)

1. Zeige, dass \(g\) in der Ebene mit der Gleichung \(x+y+z=2\) liegt.
2. Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden \(h_a:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)+\mu \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ a \\ 0 \end{array}\right)\) mit \(\mu,a\in\mathbb{R}\). Weise nach, dass \(g\) und \(h_a\) für jeden Wert von \(a\) windschief sind.

#iqb

Aufgabe 6  Rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck (eAN) 𝕃

Betrachtet wird ein Dreieck \(ABC\) mit \(A\left(0\left|0\right|0\right)\) und \(B\left(3\left|5\right|-4\right)\). Das Dreieck hat die folgenden Eigenschaften:

• Das Dreieck ist sowohl gleichschenklig als auch rechtwinklig.
• \(\overline{AB}\) ist eine Kathete des Dreiecks.
• Die zweite Kathete des Dreiecks liegt in der x₁x₃-Ebene.

Ermittle die Koordinaten eines Punkts, der für \(C\) in Frage kommt.

#iqb

Aufgabe 7  Spiegelebene (eAN) 𝕃

Gegeben sind die Geraden \(g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+r \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)\) und \(h:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+s \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right); r,s\in\mathbb{R}\).

1. Begründe, dass \(g\) und \(h\) nicht identisch sind.
2. Die Gerade \(g\) soll durch Spiegelung an einer Ebene auf die Gerade \(h\) abgebildet werden. Bestimme eine Gleichung einer geeigneten Ebene und erläutere dein Vorgehen.

#iqb

Aufgabe 8  Rasenfläche (gAN) 𝕃

Die Punkte \(A(0|0|0), B(18|0|1,5), C(12|10|1), D(12|15|1)\) und \(E(0|15|0)\) stellen modellhaft die Eckpunkte einer ebenen Rasenfläche dar (vgl. Abbildung). Die Strecken \(\overline{AB}\) und \(\overline{DE}\), sowie \(\overline{AE}\) und \(\overline{CD}\) sind parallel. \(\overline{CD}\) und \(\overline{DE}\) schließen einen rechten Winkel ein.

Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Wirklichkeit.

Die Rasenfläche wird von einem Roboter gemäht, der die Form eines flachen Zylinders hat. Zur Beschreibung der Bewegung des Roboters wird der Mittelpunkt seiner kreisförmigen Unterseite betrachtet, die einen Radius von 20 cm hat. Es soll vereinfachend davon ausgegangen werden, dass dieser Mittelpunkt die Rasenfläche berührt. Die Position des Mittelpunkts wird zunächst durch \(P(3,6|8|0,3)\) dargestellt (vgl. Abbildung). Die anschließende Bewegung des Mittelpunkts verläuft im Modell entlang der Gerade \(g\), die durch \(P\) verläuft und den Richtungsvektor \(\vec{a}= \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right)\) hat. Dabei bewegt sich der Roboter auf den durch \(\overline{BC}\) dargestellten Rand der Rasenfläche zu.

3. Berechne die Koordinaten des Punkts \(Q\), in dem \(g\) die Strecke \(\overline{BC}\) schneidet. (zur Kontrolle: \(Q(15,6|4|1,3)\) )
4. Weise nach, dass der Winkel, unter dem sich der Roboter dem Rand der Rasenfläche nähert, etwa 41° groß ist.
5. Der Roboter ändert seine Richtung, sobald der Rand seiner Unterseite den Rand der Rasenfläche erreicht. Der Punkt, der die Position des Mittelpunkts im Moment der Richtungsänderung darstellt, wird mit \(S\) bezeichnet. Berechne mithilfe einer geeigneten Skizze die Koordinaten von \(S\).

#iqb