Lösung Gleichschenkliges Dreieck und Flächeninhalt

Zuletzt geändert von akukin am 2024/02/07 18:27
  1. Die Dreiecke ABD_k und ACD_k sind rechtwinklig und stimmen in den Längen ihrer Katheten überein, da |\overline{AB}|=|\overline{AC}| = 4 (und beide Dreiecke haben dieselbe zweite Kathete \overline{AD_k}). Damit sind auch die beiden Hypotenusen gleich lang.
  2. Da das Dreieck BCD_k gleichschenklig mit der Basis \overline{BC} ist, stellt \overline{MD_k} eine Höhe dieses Dreiecks dar.
    Der Flächeninhalt berechnet sich durchA = \frac{1}{2} \cdot G \cdot h = \frac{1}{2}\cdot |\overline{BC}|\cdot |\overline{MD_k}| = \frac{1}{2} \cdot \left| \left(\begin{array}{c} -4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right)\right| \cdot \left| \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ k \end{array}\right)\right| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-4)^2+4^2+0^2}+ \sqrt{(-2)^2+(-2)^2+k^2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{32}+ \sqrt{8+k^2}.
  3. Da der Koordinatenursprung nicht in L_k liegt, lässt sich die gesuchte Gleichung in der Form ax_1+bx_2+cx_3 = 4 schreiben. Mit den Koordinaten von B, C und D_k ergibt sich

\begin{align} a\cdot 4 + 0 + 0 &= 4 &\Leftrightarrow a =1, \\ 0 + b \cdot 4 + 0 &= 4 &\Leftrightarrow b=1, \\ \text{und} \quad 0 + 0 + c \cdot k &= 4 &\Leftrightarrow c = \frac{4}{k} \end{align}

und damit L_k = x_1+x_2+ \frac{4}{k}\cdot x_3 =4.

4. Für k>0 gilt:

\begin{align} &&\sin(30\text{°}) &= \frac{\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \frac{4}{k} \end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)\right| \cdot \left|\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \frac{4}{k} \end{array}\right)\right|} \\ &\Leftrightarrow &\frac{1}{2} &= \frac{\frac{4}{k}}{\sqrt{1+1+ \frac{16}{k^2}}} &&\mid \cdot 2 \mid \cdot \sqrt{1+1+ \frac{16}{k^2}}\\ &\Leftrightarrow &\sqrt{2 + \frac{16}{k^2}} &= \frac{8}{k} &&\mid ()^2 \\ &\Leftrightarrow &2 + \frac{16}{k^2} &= \frac{64}{k^2} && \mid \cdot k^2 \mid :2 \mid -8\\ &\Leftrightarrow &k^2 &= 24 &&\mid \sqrt\\ &\Leftrightarrow & k &= 2\sqrt{6} \end{align}

5. Enthält L_k den Punkt P(1|0|3), so gilt L_k = 1 + 0 + \frac{12}{k}= 4 \Leftrightarrow k = 4
(alternativ ergibt sich für  R(0|1|3) ebenso L_k = 0 + 1 + \frac{12}{k}= 4 \Leftrightarrow k = 4).

6. Für 4 \leq k < 6: drei Eckpunkte
Für 3<k<4: fünf Eckpunkte
Für 0<k\leq 3: vier Eckpunkte

7. Q_h ist derjenige Punkt der Strecke \overline{MD_6}, der die x3-Koordinate  h hat.
Die Gleichung \vec{x} = \overrightarrow{OM} + \lambda \cdot \overrightarrow{MD_6} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right) dieser Strecke liefert für \lambda = \frac{h}{6}: x_1=x_2= 2- \frac{h}{3}.

Damit ergibt sich für die Koordinaten des Punktes Q_h(2- \frac{h}{3}|2- \frac{h}{3}|h).