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Lösung Ebenenschar

Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/01 17:25

Teilaufgabe 1

Erwartungshorizont \left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=0 \Leftrightarrow -2a+a-2=0 \Leftrightarrow a=-2
Erläuterung der Lösung Der Normalenvektor \vec{n} der Ebene besteht aus den drei Koeffizienten der Koordinatenform ihrer Gleichung:
\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)
Die Ebene verläuft parallel zur Geraden, wenn der Normalenvektor der Ebene senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden verläuft, also wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren null ist:
\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=0 \Leftrightarrow -2a+a-2=0 \Leftrightarrow a=-2
Für a=-2 stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander und damit sind Ebene und Gerade parallel.

Teilaufgabe 2

Erwartungshorizont \left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)=k\cdot \left(\begin{array}{c} 6\\ -8 \\ 1 \end{array}\right) ergibt k=0,5

Das Gleichungssystem

\begin{align*} &I: \ 2a &=3 \\ &II:\ a-2 &=0,5 \end{align*}

besitzt keine Lösung und damit gehört die Ebene nicht zur Schar.
Erläuterung der Lösung Der Normalenvektor \vec{n} der Ebene muss ein Vielfaches (k-Faches) des Vektors der Koeffizienten der angegebenen Gleichung sein:
\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)=k\cdot \left(\begin{array}{c} 6\\ -8 \\ 1 \end{array}\right)
Anhand der zweiten Zeile (der x_2-Koordinaten) erkennt man, das k=\frac{1}{2} sein muss. Setzt man diesen Wert für k in die beiden anderen Zeilen ein, erhält man das lineare Gleichungssystem

\begin{align*} &I: \ 2a &=3 \\ &II:\ a-2 &=\frac{1}{2} \end{align*}

Dieses LGS besitzt keine Lösung für a. Folglich können die beiden Ebenen nicht identisch sein.