Lösung Ebenenschar
Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/01 15:25
Teilaufgabe 1
Erwartungshorizont
\(\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=0 \Leftrightarrow -2a+a-2=0 \Leftrightarrow a=-2\)Erläuterung der Lösung
Der Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene besteht aus den drei Koeffizienten der Koordinatenform ihrer Gleichung:\(\vec{n}=\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)\)
Die Ebene verläuft parallel zur Geraden, wenn der Normalenvektor der Ebene senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden verläuft, also wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren null ist:
\(\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \\ 1 \end{array}\right)=0 \Leftrightarrow -2a+a-2=0 \Leftrightarrow a=-2\)
Für \(a=-2\) stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander und damit sind Ebene und Gerade parallel.
Teilaufgabe 2
Erwartungshorizont
\(\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)=k\cdot \left(\begin{array}{c} 6\\ -8 \\ 1 \end{array}\right)\) ergibt \(k=0,5\)Das Gleichungssystem
\[\begin{align*}
&I: \ 2a &=3 \\
&II:\ a-2 &=0,5
\end{align*}\]
besitzt keine Lösung und damit gehört die Ebene nicht zur Schar.
Erläuterung der Lösung
Der Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene muss ein Vielfaches (k-Faches) des Vektors der Koeffizienten der angegebenen Gleichung sein:\(\left(\begin{array}{c} 2a\\ -4 \\ a-2 \end{array}\right)=k\cdot \left(\begin{array}{c} 6\\ -8 \\ 1 \end{array}\right)\)
Anhand der zweiten Zeile (der \(x_2\)-Koordinaten) erkennt man, das \(k=\frac{1}{2}\) sein muss. Setzt man diesen Wert für \(k\) in die beiden anderen Zeilen ein, erhält man das lineare Gleichungssystem
\[\begin{align*}
&I: \ 2a &=3 \\
&II:\ a-2 &=\frac{1}{2}
\end{align*}\]
Dieses LGS besitzt keine Lösung für \(a\). Folglich können die beiden Ebenen nicht identisch sein.