Änderungen von Dokument Lösung Drei Punkte

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1		-Um zu prüfen, ob die Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen, stellen wir eine Geradengleichung durch zwei Punkte auf (zum Beispiel {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}}) und prüfen, ob der dritte Punkt auf der Geraden liegt, indem wir den Punkt mit der Gerade gleichsetzen.
	1	+Um zu prüfen, ob die Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen, stellen wir eine Geradengleichung durch zwei Punkte auf (zum Beispiel {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}}) und prüfen, ob der dritte Punkt auf der Geraden liegt, indem wir den Ortsvektor des dritten Punktes in die Geradengleichung einsetzen.
2	2
3		-Zum Aufstellen der Geradengleichung wählen wir z.B. {{formula}}A{{/formula}} als Aufhängepunkt und {{formula}}\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} {{/formula}} als Richtungsvektor und erhalten die Geradengleichung:
	3	+Zum Aufstellen der Geradengleichung verwenden wir {{formula}}\overrightarrow{OA}{{/formula}} als Stützvektor und {{formula}}\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-4 \\ 2-0 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} {{/formula}} als Richtungsvektor und erhalten:
4	4
5		-{{formula}}g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}
	5	+{{formula}}g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}
6	6
7		-//Hinweis: Auch {{formula}}B{{/formula}} könnte als Aufhängepunkt verwendet werden. Auch Vielfache des Richtungsvektors
8		-könnten verwendet werden.//
	7	+Einsetzen von {{formula}}\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}} in die Geradengleichung:
9	9
10		-Wir setzen nun {{formula}}C{{/formula}} mit der Gerade gleich:
11		-
12	12	{{formula}}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}
13	13
14		-und erhalten somit folgendes LGS:
	11	+Wir erhalten komponentenweise aus den einzelnen Zeilen folgendes LGS:
15	15	{{formula}}
16	16	\begin{align*}
17		-\text{I}: \ 3&=4-2t \\
18		-\text{II}: \ 1&=2t \\
19		-\text{III}: \ 1&=t
	14	+3&=4-2r \ &&\Leftrightarrow \ r=\frac{1}{2} \\
	15	+1&=2r \ &&\Leftrightarrow \ r=\frac{1}{2} \\
	16	+1&=r
20	20	\end{align*}
21		-{{/formula}}
	18	+{{/formula}}.
22	22
23		-Aus {{formula}}\text{I}{{/formula}}: {{formula}}3=4-2t \ \Leftrightarrow \ t=\frac{1}{2}{{/formula}}.
	20	+Da sich aus der dritten Gleichung ein anderer Wert für {{formula}}r{{/formula}} ergibt als aus den anderen beiden Gleichungen, erfüllt Punkt {{formula}}C{{/formula}} die Geradengleichung nicht.
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25		-Wir setzen {{formula}}t=\frac{1}{2}{{/formula}} in {{formula}}\text{II}{{/formula}} ein:
26		- {{formula}}0+\frac{1}{2}\cdot 2=1{{/formula}} (wahre Aussage).
27		-
28		-Wir setzen {{formula}}t=\frac{1}{2}{{/formula}} in {{formula}}\text{III}{{/formula}} ein:
29		- {{formula}}0+\frac{1}{2}\cdot 1=1{{/formula}} (falsche Aussage).
30		-
31	31	Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} liegen somit nicht auf einer gemeinsamen Gerade.
32	32
33	33