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Wiki-Quellcode von Lösung Drei Punkte

Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/05/13 16:53
Verstecke letzte Bearbeiter
Anna Kukin 2.1 1 Um zu prüfen, ob die Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen, stellen wir eine Geradengleichung durch zwei Punkte auf (zum Beispiel {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}}) und prüfen, ob der dritte Punkt auf der Geraden liegt, indem wir den Punkt mit der Gerade gleichsetzen.
Anna Kukin 1.1 2
Anna Kukin 2.1 3 Zum Aufstellen der Geradengleichung wählen wir z.B. {{formula}}A{{/formula}} als Aufhängepunkt und {{formula}}\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} {{/formula}} als Richtungsvektor und erhalten die Geradengleichung:
Anna Kukin 1.1 4
Anna Kukin 2.1 5 {{formula}}g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}
Anna Kukin 1.1 6
Anna Kukin 3.1 7 //Hinweis: Auch {{formula}}B{{/formula}} könnte als Aufhängepunkt verwendet werden. Auch Vielfache des Richtungsvektors
8 könnten verwendet werden.//
Anna Kukin 1.1 9
Anna Kukin 3.1 10 Wir setzen nun {{formula}}C{{/formula}} mit der Gerade gleich:
11
Anna Kukin 1.1 12 {{formula}}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}
13
Anna Kukin 3.1 14 und erhalten somit folgendes LGS:
Anna Kukin 1.1 15 {{formula}}
16 \begin{align*}
Anna Kukin 3.1 17 \text{I}: \ 3&=4-2t \\
18 \text{II}: \ 1&=2t \\
19 \text{III}: \ 1&=t
Anna Kukin 1.1 20 \end{align*}
Anna Kukin 2.1 21 {{/formula}}
Anna Kukin 1.1 22
Anna Kukin 2.1 23 Aus {{formula}}\text{I}{{/formula}}: {{formula}}3=4-2t \ \Leftrightarrow \ t=\frac{1}{2}{{/formula}}.
Anna Kukin 1.1 24
Anna Kukin 2.1 25 Wir setzen {{formula}}t=\frac{1}{2}{{/formula}} in {{formula}}\text{II}{{/formula}} ein:
26 {{formula}}0+\frac{1}{2}\cdot 2=1{{/formula}} (wahre Aussage).
27
28 Wir setzen {{formula}}t=\frac{1}{2}{{/formula}} in {{formula}}\text{III}{{/formula}} ein:
29 {{formula}}0+\frac{1}{2}\cdot 1=1{{/formula}} (falsche Aussage).
30
Anna Kukin 1.1 31 Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} liegen somit nicht auf einer gemeinsamen Gerade.
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35 **Alternative Lösung: **
36 Um zu prüfen, ob die Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen, bilden wir die Stützvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AC}{{/formula}} und prüfen, ob die beiden Vektoren Vielfachen voneinander sind/linear abhängig sind:
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38 {{formula}}\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-4 \\ 2-0 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} {{/formula}}
39
40 {{formula}}\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 3-4 \\ 1-0 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}
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42 Wir prüfen nun zeilenweise, ob es ein {{formula}}k{{/formula}} gibt, sodass {{formula}}\overrightarrow{AB}=k\cdot \overrightarrow{AC} \ \Leftrightarrow \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=k\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}} gilt.
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44 Zeile I: {{formula}}-2=k\cdot (-1) \Leftrightarrow k=2{{/formula}}
45 Zeile II: {{formula}}2=k\cdot 1 \Leftrightarrow k=2{{/formula}}
46 Zeile III: {{formula}}1=k\cdot 1 \Leftrightarrow k=1 \neq 2{{/formula}}
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48 Da wir in der dritten Zeile einen anderen Wert für {{formula}}k{{/formula}} erhalten, sind die Vektoren keine Vielfachen voneinander (sie sind linear unabhängig). Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} liegen somit nicht auf einer gemeinsamen Gerade.