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Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/05/27 18:27
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Anna Kukin 1.1 1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 Alle Punkte von {{formula}}g{{/formula}} haben die {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate 3, {{formula}}A{{/formula}} hat die {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate 0.
4 {{/detail}}
5
6 === Teilaufgabe b) ===
7 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
8 {{formula}} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -7 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ b \end{pmatrix} {{/formula}} liefert {{formula}}r=3, s=5{{/formula}} und damit {{formula}} 18=3b \ \Leftrightarrow \ b=6{{/formula}}
9 {{/detail}}
10
11
12 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
13 Zuerst müssen wir die Geradengleichung für {{formula}} h {{/formula}} aufstellen. Als Stützvektor wählen wir den Ortsvektor von {{formula}} A {{/formula}}, als Richtungsvektor den Verbindungsvektor {{formula}} \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5 - 4 \\ 1 - 0 \\ b - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ b \end{pmatrix} {{/formula}}
14 <br>
15 Damit lautet die Geradengleichung
16 {{formula}} h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ b \end{pmatrix} {{/formula}}
17 <p></p>
18 Da die Geraden einen gemeinsamen Punkt haben, setzen wir die beiden Geradengleichungen gleich:
19 {{formula}} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -7 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ b \end{pmatrix} {{/formula}}
20 <p></p>
21 Daraus ergibt sich folgendes LGS:
22 <br>
23 {{formula}}
24 \begin{align*}
25 \text{I:} \ \qquad 2 + s &= 4 + r \\
26 \text{II:} \qquad \qquad 3 &= r \\
27 \text{III:} \ \ -7 + 5s &= r \cdot b
28 \end{align*}
29 {{/formula}}
30 <p></p>
31 Aus Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}} können wir den Wert für {{formula}} r {{/formula}} direkt ablesen: {{formula}} r = 3 {{/formula}}.
32 <p></p>
33 Wir setzen {{formula}} r = 3 {{/formula}} in Gleichung {{formula}}\text{I}{{/formula}} ein, um den Parameter {{formula}} s {{/formula}} zu bestimmen:
34 <br>
35 {{formula}}
36 \begin{align*}
37 2 + s &= 4 + 3 \\
38 2 + s &= 7 \quad \mid -2 \\
39 s &= 5
40 \end{align*}
41 {{/formula}}
42 <p></p>
43 Nun setzen wir die beiden gefundenen Werte {{formula}} r = 3 {{/formula}} und {{formula}} s = 5 {{/formula}} in Gleichung {{formula}}\text{III}{{/formula}} ein, um den gesuchten Wert für {{formula}} b {{/formula}} zu berechnen:
44 <br>
45 {{formula}}
46 \begin{align*}
47 -7 + 5 \cdot 5 &= 3 \cdot b \\
48 -7 + 25 &= 3b \\
49 18 &= 3b \quad \mid :3 \\
50 b &= 6
51 \end{align*}
52 {{/formula}}
53 <p></p>
54 Für den Wert {{formula}} b = 6 {{/formula}} haben die beiden Geraden {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} somit einen gemeinsamen Schnittpunkt.