Lösung Spiegelung an einer Ebene
- Da der Vektor \( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \) kein Vielfaches des Vektors \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) ist, sind die beiden Richtungsvektoren nicht kollinear und die Geraden \(g\) und \(h\) somit nicht identisch.
Damit die Gerade \( g \) durch eine Spiegelung an einer Ebene exakt auf die Gerade \( h \) abgebildet wird, muss der Normalenvektor der Ebene auf der Winkelhalbierenden der Richtungsvektoren von \( g \) und \( h \) liegen. Zudem
muss die Spiegelebene durch ihren Schnittpunkt \((1|1|1)\) verlaufen.Da beide Richtungsvektoren exakt gleich lang sind, spannen sie geometrisch betrachtet eine Raute auf. In einer Raute halbiert die Diagonale stets den Winkel.
Daher erhalten wir durch Vektoraddition der beiden Richtungsvektoren die Winkelhalbierende/den Normalenvektor der Ebene:
\( \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \).Daraus ergibt sich die allgemeine Koordinatengleichung der Ebene: \( 3x_1 + 3x_2 = d \)
Die Ebene muss den Schnittpunkt der Geraden \( S(1|1|1) \) enthalten. Wir setzen diesen Punkt in unsere Gleichung ein und erhalten \(d=6\).
Eine geeignete Ebenengleichung für die Spiegelung lautet somit beispielsweise \( E: 3x_1 + 3x_2 = 6 \)