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Lösung Drei Geraden

Zuletzt geändert von akukin am 2026/05/13 16:33

  1. Wir setzen die beiden Geradengleichungen gleich:

    \[\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}\]

    Dabei erhalten wir das LGS
    \(\begin{align*} \text{I}: \ 4-3s&=6+5t\\ \text{II}: \ \quad -2&=0+2t\\ \text{III}:\ \ \ 1+s&=2 \end{align*}\)

    Aus Gleichung \(\text{III}\) folgt: \( 1+s=2 \ \Leftrightarrow \ s=1\).
    Aus Gleichung \(\text{II}\): \(-2=0+2t \ \Leftrightarrow \ t=-1\).
    Einsetzen von \(s=1\) und \(t=-1\) in die erste Gleichung liefert die wahre Aussage: \(4-3\cdot 1=6+5\cdot(-1)\iff 1=1\).

    Da das LGS eindeutig lösbar ist, schneiden sich die Geraden \(g_1\) und \(g_2\). Den Schnittpunkt erhalten wir durch Einsetzen von zum Beispiel \(s=1\) in \(g_1\) (alternativ \(t=-1\) in \(g_2\)):

    \(\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}-3\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix} \ \rightarrow S(1|-2|1)\).

  2. \(g_1\) und \(g_3\):

    Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:

    \[\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\ 0\\-1\end{pmatrix}\]

    LGS:
    \(\begin{align*} \text{I}: \ \ \quad 4-3s&=3t\\ \text{II}: \ -2+0s&=0\\ \text{III}:\qquad 1+s&=6-t \end{align*}\)

    Bereits aus Gleichung \(\text{II}\) ergibt sich die falsche Aussage \(-2 = 0\).

    Da das LGS unlösbar ist und die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\) Vielfache voneinander sind \(\left((-1) \cdot \begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\right)\), sind die Geraden \(g_1\) und \(g_3\) echt parallel.

  3. \(g_2\) und \(g_3\):

    Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:

    \[\begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\]

    LGS:
    \(\begin{align*} \text{I}: \ 6+5s&=0+3t\\ \text{II}: \ 0+2s&=0\\ \text{III}:\ 2+0s&=6-t \end{align*}\)

    Aus Gleichung \(\text{II}\) folgt: \( 2s=0 \ \Leftrightarrow \ s=0\).
    Aus Gleichung \(\text{III}\) folgt: \( 2=6-t \ \Leftrightarrow \ t=4\).

    Einsetzen von \(s=0\) und \(t=4\) in die erste Gleichung liefert die falsche Aussage:
    \(6+5\cdot 0=3\cdot 4 \ \Leftrightarrow \ 6=12\).

    Da das LGS unlösbar ist und die Richtungsvektoren \(\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\) keine Vielfachen voneinander sind, sind die Geraden \(g_2\) und \(g_3\) windschief.