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Version 1.1 von Anna Kukin am 2026/05/21 22:09
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1 (%class=abc%)
2 1. (((Die Punkte {{formula}} A {{/formula}} und {{formula}} B {{/formula}} haben die gleiche x-Koordinate und die gleiche z-Koordinate. Da sich nur die y-Koordinate unterscheidet, verläuft die Gerade parallel zur y-Achse.
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4 Alternativ können wir den Richtungsvektor {{formula}} \overrightarrow{AB} {{/formula}} bestimmen:
5 {{formula}} \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-2 \\ 3-(-3) \\ 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} = 6 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}}
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7 Da der Richtungsvektor {{formula}} \overrightarrow{AB} {{/formula}} ein Vielfaches des Einheitsvektors der y-Achse ist, ist die Gerade parallel zur y-Achse.)))
8 1. (((Da der Punkt {{formula}} C {{/formula}} auf der y-Achse liegt, sind seine Koordinaten gegeben durch
9 {{formula}} C(0|c|0){{/formula}} mit {{formula}}c \in \mathbb{R} {{/formula}}
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11 Da die Geraden durch {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} senkrecht aufeinander stehen, muss das Skalarprodukt der Richtungsvektoren der Geraden gleich null sein. Das heißt es muss gelten:
12 {{formula}}
13 \begin{align*}
14 \overrightarrow{CA} \circ \overrightarrow{CB} = 0 \\
15 \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 2 \\ -3-c \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ 3-c \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \\
16 \Leftrightarrow 2 \cdot 2 + (-3-c) \cdot (3-c) + 1 \cdot 1 = 0 \\
17 \Leftrightarrow 4 + -9 + 3c - 3c + c^2 + 1 = 0 \\
18 \Leftrightarrow -4+c^2=0 \\
19 \Leftrightarrow c^2=4 &&\mid \pm\sqrt \\
20 \Leftrightarrow c = \pm 2
21 \end{align*}
22 {{/formula}}
23
24
25 Die Koordinaten der Punkte lauten somit
26 {{formula}} C_1(0|-2|0) {{/formula}} und {{formula}} C_2(0|2|0) {{/formula}})))