BPE 16.2 Gegenseitige Lage von Geraden

1  Drei Geraden  (8 min) 𝕋  𝕃

Gegeben sind die drei Geraden:

\(g_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix}+t_1\cdot\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\); \(t_1\in \mathbb{R}\)

\(g_2:\vec{x}=\begin{pmatrix}6\\ 0\\ 2\end{pmatrix}+t_2\cdot\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}\); \(t_2\in \mathbb{R}\)

\(g_3:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 6\end{pmatrix}+t_3\cdot\begin{pmatrix}3\\ 0\\ -1\end{pmatrix}\); \(t_3\in \mathbb{R}\)

Bestimme jeweils die gegenseiteige Lage von

1. \(g_1\) und \(g_2\)
2. \(g_1\) und \(g_3\)
3. \(g_2\) und \(g_3\)

Berechne ggf. die Koordinaten des Schnittpunkts.

2  Schnittwinkel  (4 min) 𝕋  𝕃

Gegeben sind die Geraden:

\(g_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\ -2\\ 1\end{pmatrix}+t_1\cdot\begin{pmatrix}-3\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\); \(t_1\in \mathbb{R}\)

\(g_2:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 2\end{pmatrix}+t_2\cdot\begin{pmatrix}5\\ 2\\ 0\end{pmatrix}\); \(t_2\in \mathbb{R}\)

1. Berechne den Winkel zwischen den Richtungsvektoren \(\varphi, \phi\) der beiden Geraden.
2. Ermittle den Schnittwinkel \(\alpha\) der Geraden.
3. Gib Parallelen zu \(g_2\) mit dem gleichen Schnittwinkel \(\alpha\) zu \(g_1\) an.
4. Gib Parallelen zu \(g_2\) an, die nicht den gleichen Schnittwinkel \(\alpha\) zu \(g_1\) haben.

3  Winkelberechnung rückwärts  (5 min)

Gegeben sind die Geraden:
\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}-4\\ 0\\ 4\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\ -1\\ k\end{pmatrix}\)
\(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}-4\\ 0\\ 4\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\ 2\\ -2\end{pmatrix}\)
\( t,s \in R \)

Bestimme den Parameter k, sodass die Geraden g und h sich im Winkel 60 Grad schneiden. 

4  Rückwärts  (5 min) 𝕃

Gegeben ist die Gerade g durch:

Bestimme jeweils eine Gerade, die ...

1. echt parallel zu g ist.
2. g orthogonal schneidet.
3. windschief zu g ist.

Erläutere deine Überlegungen.

5  Verschiebung  (5 min)

Gegeben sind zwei Geraden g und h durch \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\ 8\\ -6\end{pmatrix}\) und \(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0,1\\ 0,4\\ -0,3\end{pmatrix}\).

1. Zeige: Die Gerade h ist parallel zu Gerade g.
2. Weise rechnerisch nach, dass die Gerade h sich aus der Geraden g durch eine Verschiebung mit Vektor \(\vec{w}=\begin{pmatrix}2\\ 15\\ -11\end{pmatrix}\) ergibt.

6  Lagebeziehung mit Parameter  (4 min) 𝕃

Gegeben sind die Geraden:

\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}-4\\ 0\\ 4\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\ 4\\ 2\end{pmatrix}\)
\(h:\vec{x}=\begin{pmatrix}a\\ 4\\ 6\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\ 8\\ b\end{pmatrix}\) \( t,s \in R \)

Bestimme die Parameter a und b (\( a,b \in R \)), sodass….
a) …die Geraden g und h identisch sind.
b) …die Geraden g und h parallel sind.
c) …die Geraden g und h sich schneiden.

7  Lagebeziehung  (5 min) 𝕃

Die Gerade \( g \) verläuft parallel zur \( x \)-Achse durch den Punkt \( A(2|-1|-2) \). Die Gerade \( h \) beinhaltet die Punkte \( B(2|5|k) \) mit \( k \in R \).
Zeige, dass die beiden Geraden \( g \) und \( h \) windschief sind.

8  Lage von Geraden im Koordinatensystem  (8 min)

Beurteile die Aussage:
„Die Geraden g und h schneiden sich im Punkt S(2/1/0).“

9  Aussagen beurteilen  (5 min)

Beurteile die Aussagen.
a) Wenn die Richtungsvektoren zweier Geraden im Raum Vielfachen voneinander sind, dann sind die Geraden parallel zueinander.
b) Wenn zwei Geraden einen gemeinsamen Punkt haben, dann sind ihre Stützvektoren identisch.
c) Hat die Gleichung g=h für zwei Geraden g und h im Raum keine Lösung, so sind die beiden Geraden g und h windschief zueinander.
d) Wenn die Richtungsvektoren zweier Geraden im Raum keine Vielfachen voneinander sind, dann sind die Geraden zueinander windschief.

10  Parallele und senkrechte Gerade  (15 min) 𝕃

Gegeben sind die Punkte \(A(2|-3|1)\) und \(B(2|3|1)\).

1. Begründe, dass die Gerade durch \(A\) und \(B\) parallel zur y-Achse verläuft.
2. Der Punkt \(C\) liegt auf der y-Achse. Die Gerade durch \(A\) und \(C\) steht senkrecht zur
   Gerade durch \(B\) und \(C\). Bestimme die Koordinaten aller Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften des Punkts \(C\) haben.
   wird.

11  Punkt auf einer Geraden und senkrechte Geraden  (15 min) 𝕃

Gegeben ist die Gerade \( g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) mit \(s \in \mathbb{R} \).

1. Zeige, dass der Punkt \( P(4|3|3) \) nicht auf \( g \) liegt. Gib die Koordinaten eines Punktes \( Q \) an, der auf \( g \) liegt und sich nur in einer Koordinate von \( P \) unterscheidet.
2. Die Gerade \( h \) verläuft parallel zur \( y \)-Achse und schneidet \( g \) im Punkt \( (8|3|-3) \). Untersuche, ob \( g \) und \( h \) senkrecht zueinander verlaufen.