Änderungen von Dokument Lösung Punkt auf einer Geraden und senkrechte Geraden

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Inhalt

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7	7
8	8
9	9	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	10	+Um zu prüfen, ob {{formula}} P {{/formula}} auf der Geraden {{formula}} g {{/formula}} liegt, setzen wir den Ortsvektor von {{formula}} P {{/formula}} mit der Geradengleichung gleich:
	11	+<br>
	12	+{{formula}} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} {{/formula}}
	13	+<p></p>
	14	+Daraus ergibt sich folgendes LGS:
	15	+<br>
	16	+{{formula}}
	17	+\begin{align*}
	18	+\text{I} \quad & 4 = 8 - 4s \\
	19	+\text{II} \quad & 3 = 3 &&\text{(wahre Aussage für alle } s\text{)} \\
	20	+\text{III} \quad & 3 = -3 + 3s
	21	+\end{align*}
	22	+{{/formula}}
	23	+<p></p>
	24	+Wir lösen Gleichung {{formula}}\text{I}{{/formula}} und {{formula}}\text{III}{{/formula}} nach {{formula}} s {{/formula}} auf:
	25	+* Aus Gleichung {{formula}}\text{I}{{/formula}} erhalten wir {{formula}}4 = 8 - 4s \ \Leftrightarrow \ -4 = -4s \ \Leftrightarrow \ s = 1 {{/formula}}
	26	+* Aus Gleichung {{formula}}\text{III}{{/formula}} erhalrten wir {{formula}}3 = -3 + 3s \ \Leftrightarrow \ 6 = 3s \ \Leftrightarrow \ s = 2 {{/formula}}
10	10
	28	+<p></p>
	29	+Da wir für {{formula}} s {{/formula}} zwei unterschiedliche Werte erhalten, haben wir einen Widerspruch.
	30	+<br>
	31	+Der Punkt {{formula}} P(4|3|3){{/formula}} liegt somit nicht auf {{formula}} g{{/formula}}.
	32	+
	33	+<p></p>
	34	+Wir suchen nun einen Punkt {{formula}} Q {{/formula}} auf der Geraden, der sich nur in einer Koordinate von {{formula}} P(4|3|3) {{/formula}} unterscheidet.
	35	+Aus der Punktprobe wissen wir bereits: Wenn wir {{formula}} s = 1 {{/formula}} in die Geradengleichung einsetzen, erhalten wir für die {{formula}} x_1 {{/formula}}-Koordinate den Wert {{formula}} 4 {{/formula}}. Da die {{formula}} x_2 {{/formula}}-Koordinate ist unabhängig von {{formula}} s {{/formula}} immer {{formula}} 3 {{/formula}} ist, erhalten wir so also einen Punkt auf der Geraden, der sich in nur einer Koordinate von {{formula}}P{{/formula}} unterscheidet:
	36	+<br>
	37	+{{formula}}\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 4 \\ 3 + 0 \\ -3 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \ Q(4|3|0){{/formula}}
	38	+
	39	+<p></p>
	40	+<br>
	41	+//Alternativ ergibt sich für {{formula}}s=2{{/formula}}:
	42	+<br>
	43	+{{formula}}\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 8 \\ 3 + 0 \\ -3 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \rightarrow \ Q_2(0|3|3){{/formula}}//
11	11	{{/detail}}
12	12
13	13
...	...	@@ -18,5 +18,13 @@
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20	20	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	54	+Damit zwei Geraden senkrecht (orthogonal) zueinander verlaufen, muss das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren null ergeben.
	55	+<br>
	56	+Da die Gerade {{formula}} h {{/formula}} parallel zur {{formula}} y {{/formula}}-Achse verläuft, ist {{formula}}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}} ein Richtungsvektor von {{formula}} h {{/formula}}.
	57	+<p></p>
	58	+
	59	+Für das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren ergibt sich {{formula}}\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -4 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 3 \cdot 0= 0{{/formula}}
21	21
	61	+<br>
	62	+Da das Skalarprodukt {{formula}} 0 {{/formula}} ergibt, verlaufen die beiden Geraden {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} senkrecht zueinander.
22	22	{{/detail}}