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Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/07/06 16:37
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 Aus dem Ansatz {{formula}} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} {{/formula}} folgt in der ersten Koordinate {{formula}}s=1{{/formula}} und in der dritten Koordinate {{formula}}s=2{{/formula}}.
4 <br>
5 {{formula}} Q(4 | 3 | 0){{/formula}}
6 {{/detail}}
7
8
9 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10 Um zu prüfen, ob {{formula}} P {{/formula}} auf der Geraden {{formula}} g {{/formula}} liegt, setzen wir den Ortsvektor von {{formula}} P {{/formula}} mit der Geradengleichung gleich:
11 <br>
12 {{formula}} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} {{/formula}}
13 <p></p>
14 Daraus ergibt sich folgendes LGS:
15 <br>
16 {{formula}}
17 \begin{align*}
18 \text{I} \quad & 4 = 8 - 4s \\
19 \text{II} \quad & 3 = 3 &&\text{(wahre Aussage für alle } s\text{)} \\
20 \text{III} \quad & 3 = -3 + 3s
21 \end{align*}
22 {{/formula}}
23 <p></p>
24 Wir lösen Gleichung {{formula}}\text{I}{{/formula}} und {{formula}}\text{III}{{/formula}} nach {{formula}} s {{/formula}} auf:
25 * Aus Gleichung {{formula}}\text{I}{{/formula}} erhalten wir {{formula}}4 = 8 - 4s \ \Leftrightarrow \ -4 = -4s \ \Leftrightarrow \ s = 1 {{/formula}}
26 * Aus Gleichung {{formula}}\text{III}{{/formula}} erhalrten wir {{formula}}3 = -3 + 3s \ \Leftrightarrow \ 6 = 3s \ \Leftrightarrow \ s = 2 {{/formula}}
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28 <p></p>
29 Da wir für {{formula}} s {{/formula}} zwei unterschiedliche Werte erhalten, haben wir einen Widerspruch.
30 <br>
31 Der Punkt {{formula}} P(4|3|3){{/formula}} liegt somit nicht auf {{formula}} g{{/formula}}.
32
33 <p></p>
34 Wir suchen nun einen Punkt {{formula}} Q {{/formula}} auf der Geraden, der sich nur in einer Koordinate von {{formula}} P(4|3|3) {{/formula}} unterscheidet.
35 Aus der Punktprobe wissen wir bereits: Wenn wir {{formula}} s = 1 {{/formula}} in die Geradengleichung einsetzen, erhalten wir für die {{formula}} x_1 {{/formula}}-Koordinate den Wert {{formula}} 4 {{/formula}}. Da die {{formula}} x_2 {{/formula}}-Koordinate ist unabhängig von {{formula}} s {{/formula}} immer {{formula}} 3 {{/formula}} ist, erhalten wir so also einen Punkt auf der Geraden, der sich in nur einer Koordinate von {{formula}}P{{/formula}} unterscheidet:
36 <br>
37 {{formula}}\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 4 \\ 3 + 0 \\ -3 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \ Q(4|3|0){{/formula}}
38
39 <p></p>
40 <br>
41 //Alternativ ergibt sich für {{formula}}s=2{{/formula}}:
42 <br>
43 {{formula}}\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 8 \\ 3 + 0 \\ -3 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \rightarrow \ Q_2(0|3|3){{/formula}}//
44 {{/detail}}
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47 === Teilaufgabe b) ===
48 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
49 {{formula}}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}} ist ein Richtungsvektor von {{formula}}h{{/formula}}. Wegen {{formula}}\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0{{/formula}} verlaufen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} senkrecht zu einander.
50 {{/detail}}
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53 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
54 Damit zwei Geraden senkrecht (orthogonal) zueinander verlaufen, muss das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren null ergeben.
55 <br>
56 Da die Gerade {{formula}} h {{/formula}} parallel zur {{formula}} y {{/formula}}-Achse verläuft, ist {{formula}}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}} ein Richtungsvektor von {{formula}} h {{/formula}}.
57 <p></p>
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59 Für das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren ergibt sich {{formula}}\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -4 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 3 \cdot 0= 0{{/formula}}
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61 <br>
62 Da das Skalarprodukt {{formula}} 0 {{/formula}} ergibt, verlaufen die beiden Geraden {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} senkrecht zueinander.
63 {{/detail}}