Änderungen von Dokument Lösung Punkt auf einer Geraden und senkrechte Geraden

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Inhalt

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9	9	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10		-Um zu prüfen, ob {{formula}} P {{/formula}} auf der Geraden {{formula}} g {{/formula}} liegt, setzen wir den Ortsvektor von {{formula}} P {{/formula}} mit der Geradengleichung gleich:
11		-<br>
12		-{{formula}} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} {{/formula}}
13		-<p></p>
14		-Daraus ergibt sich folgendes LGS:
15		-<br>
16		-{{formula}}
17		-\begin{align*}
18		-\text{I} \quad & 4 = 8 - 4s \\
19		-\text{II} \quad & 3 = 3 &&\text{(wahre Aussage für alle } s\text{)} \\
20		-\text{III} \quad & 3 = -3 + 3s
21		-\end{align*}
22		-{{/formula}}
23		-<p></p>
24		-Wir lösen Gleichung {{formula}}\text{I}{{/formula}} und {{formula}}\text{III}{{/formula}} nach {{formula}} s {{/formula}} auf:
25		-* Aus Gleichung {{formula}}\text{I}{{/formula}} erhalten wir {{formula}}4 = 8 - 4s \ \Leftrightarrow \ -4 = -4s \ \Leftrightarrow \ s = 1 {{/formula}}
26		-* Aus Gleichung {{formula}}\text{III}{{/formula}} erhalrten wir {{formula}}3 = -3 + 3s \ \Leftrightarrow \ 6 = 3s \ \Leftrightarrow \ s = 2 {{/formula}}
27	27
28		-<p></p>
29		-Da wir für {{formula}} s {{/formula}} zwei unterschiedliche Werte erhalten, haben wir einen Widerspruch.
30		-<br>
31		-Der Punkt {{formula}} P(4|3|3){{/formula}} liegt somit nicht auf {{formula}} g{{/formula}}.
32		-
33		-<p></p>
34		-Wir suchen nun einen Punkt {{formula}} Q {{/formula}} auf der Geraden, der sich nur in einer Koordinate von {{formula}} P(4|3|3) {{/formula}} unterscheidet.
35		-Aus der Punktprobe wissen wir bereits: Wenn wir {{formula}} s = 1 {{/formula}} in die Geradengleichung einsetzen, erhalten wir für die {{formula}} x_1 {{/formula}}-Koordinate den Wert {{formula}} 4 {{/formula}}. Da die {{formula}} x_2 {{/formula}}-Koordinate ist unabhängig von {{formula}} s {{/formula}} immer {{formula}} 3 {{/formula}} ist, erhalten wir so also einen Punkt auf der Geraden, der sich in nur einer Koordinate von {{formula}}P{{/formula}} unterscheidet:
36		-<br>
37		-{{formula}}\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 4 \\ 3 + 0 \\ -3 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \ Q(4|3|0){{/formula}}
38		-
39		-<p></p>
40		-<br>
41		-//Alternativ ergibt sich für {{formula}}s=2{{/formula}}:
42		-<br>
43		-{{formula}}\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 8 \\ 3 + 0 \\ -3 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \rightarrow \ Q_2(0|3|3){{/formula}}//
44	44	{{/detail}}
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53	53	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
54		-Damit zwei Geraden senkrecht (orthogonal) zueinander verlaufen, muss das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren null ergeben.
55		-<br>
56		-Da die Gerade {{formula}} h {{/formula}} parallel zur {{formula}} y {{/formula}}-Achse verläuft, ist {{formula}}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}} ein Richtungsvektor von {{formula}} h {{/formula}}.
57		-<p></p>
58		-
59		-Für das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren ergibt sich {{formula}}\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -4 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 3 \cdot 0= 0{{/formula}}
60	60
61		-<br>
62		-Da das Skalarprodukt {{formula}} 0 {{/formula}} ergibt, verlaufen die beiden Geraden {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} senkrecht zueinander.
63	63	{{/detail}}