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Lösung Punkt auf einer Geraden und senkrechte Geraden

Version 2.1 von Anna Kukin am 2026/05/29 11:47
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Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont Aus dem Ansatz \( \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \) folgt in der ersten Koordinate \(s=1\) und in der dritten Koordinate \(s=2\).
\( Q(4 | 3 | 0)\)
Erläuterung der Lösung Um zu prüfen, ob \( P \) auf der Geraden \( g \) liegt, setzen wir den Ortsvektor von \( P \) mit der Geradengleichung gleich:
\( \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \)

Daraus ergibt sich folgendes LGS:
\(\begin{align*} \text{I} \quad & 4 = 8 - 4s \\ \text{II} \quad & 3 = 3 &&\text{(wahre Aussage für alle } s\text{)} \\ \text{III} \quad & 3 = -3 + 3s \end{align*}\)

Wir lösen Gleichung \(\text{I}\) und \(\text{III}\) nach \( s \) auf:
  • Aus Gleichung \(\text{I}\) erhalten wir \(4 = 8 - 4s \ \Leftrightarrow \ -4 = -4s \ \Leftrightarrow \ s = 1 \)
  • Aus Gleichung \(\text{III}\) erhalrten wir \(3 = -3 + 3s \ \Leftrightarrow \ 6 = 3s \ \Leftrightarrow \ s = 2 \)

Da wir für \( s \) zwei unterschiedliche Werte erhalten, haben wir einen Widerspruch.
Der Punkt \( P(4|3|3)\) liegt somit nicht auf \( g\).

Wir suchen nun einen Punkt \( Q \) auf der Geraden, der sich nur in einer Koordinate von \( P(4|3|3) \) unterscheidet. Aus der Punktprobe wissen wir bereits: Wenn wir \( s = 1 \) in die Geradengleichung einsetzen, erhalten wir für die \( x_1 \)-Koordinate den Wert \( 4 \). Da die \( x_2 \)-Koordinate ist unabhängig von \( s \) immer \( 3 \) ist, erhalten wir so also einen Punkt auf der Geraden, der sich in nur einer Koordinate von \(P\) unterscheidet:
\(\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 4 \\ 3 + 0 \\ -3 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \ Q(4|3|0)\)

Alternativ ergibt sich für \(s=2\):
\(\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 8 \\ 3 + 0 \\ -3 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \ Q_2(0|3|3)\)

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) ist ein Richtungsvektor von \(h\). Wegen \(\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0\) verlaufen \(g\) und \(h\) senkrecht zu einander.

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