Lösung Punkt auf einer Geraden und senkrechte Geraden
Version 4.1 von Anna Kukin am 2026/05/29 11:56
Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont
Aus dem Ansatz \( \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \) folgt in der ersten Koordinate \(s=1\) und in der dritten Koordinate \(s=2\).\( Q(4 | 3 | 0)\)
Erläuterung der Lösung
Um zu prüfen, ob \( P \) auf der Geraden \( g \) liegt, setzen wir den Ortsvektor von \( P \) mit der Geradengleichung gleich:\( \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \) Daraus ergibt sich folgendes LGS:
\(\begin{align*} \text{I} \quad & 4 = 8 - 4s \\ \text{II} \quad & 3 = 3 &&\text{(wahre Aussage für alle } s\text{)} \\ \text{III} \quad & 3 = -3 + 3s \end{align*}\) Wir lösen Gleichung \(\text{I}\) und \(\text{III}\) nach \( s \) auf:
- Aus Gleichung \(\text{I}\) erhalten wir \(4 = 8 - 4s \ \Leftrightarrow \ -4 = -4s \ \Leftrightarrow \ s = 1 \)
- Aus Gleichung \(\text{III}\) erhalrten wir \(3 = -3 + 3s \ \Leftrightarrow \ 6 = 3s \ \Leftrightarrow \ s = 2 \)
Der Punkt \( P(4|3|3)\) liegt somit nicht auf \( g\). Wir suchen nun einen Punkt \( Q \) auf der Geraden, der sich nur in einer Koordinate von \( P(4|3|3) \) unterscheidet. Aus der Punktprobe wissen wir bereits: Wenn wir \( s = 1 \) in die Geradengleichung einsetzen, erhalten wir für die \( x_1 \)-Koordinate den Wert \( 4 \). Da die \( x_2 \)-Koordinate ist unabhängig von \( s \) immer \( 3 \) ist, erhalten wir so also einen Punkt auf der Geraden, der sich in nur einer Koordinate von \(P\) unterscheidet:
\(\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 4 \\ 3 + 0 \\ -3 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \ Q(4|3|0)\)
Alternativ ergibt sich für \(s=2\):
\(\begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 8 \\ 3 + 0 \\ -3 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} \rightarrow \ Q_2(0|3|3)\)
Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont
\(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) ist ein Richtungsvektor von \(h\). Wegen \(\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0\) verlaufen \(g\) und \(h\) senkrecht zu einander.Erläuterung der Lösung
Damit zwei Geraden senkrecht (orthogonal) zueinander verlaufen, muss das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren null ergeben.Da die Gerade \( h \) parallel zur \( y \)-Achse verläuft, ist \(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) ein Richtungsvektor von \( h \). Für das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren ergibt sich \(\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = -4 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 3 \cdot 0= 0\)
Da das Skalarprodukt \( 0 \) ergibt, verlaufen die beiden Geraden \( g \) und \( h \) senkrecht zueinander.