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Version 1.1 von Anna Kukin am 2026/05/25 18:33
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Anna Kukin 1.1 1 (%class=abc%)
2 1. (((Damit die Gerade {{formula}} g_a {{/formula}} senkrecht auf der Ebene {{formula}} E {{/formula}} steht, muss ihr Richtungsvektor ein Vielfaches des Normalenvektors {{formula}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} {{/formula}} der Ebene sein:
3
4 {{formula}}
5 \begin{align*}
6 \begin{pmatrix} 2 \\ 1+a \\ 2 \end{pmatrix} &= \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}
7 \end{align*}
8 {{/formula}}
9
10 Dadurch ergibt sich folgendes LGS:
11 {{formula}}
12 \begin{align*}
13 \text{I:} \qquad 2 &= \mu \cdot 1 \quad \Rightarrow \quad \mu = 2 \\
14 \text{II:} \ 1+a &= \mu \cdot (-1) \\
15 \text{III:} \qquad 2 &= \mu \cdot 1 \quad \Rightarrow \quad \mu = 2
16 \end{align*}
17 {{/formula}}
18
19 Setzt man {{formula}} \mu = 2 {{/formula}} in die Gleichung {{formula}}\text{II}{{/formula}} ein, so ergibt sich {{formula}}1 + a = 2 \cdot (-1) \Leftrightarrow a = -3{{/formula}}.
20
21 Somit steht die Gerade {{formula}} g_{-3} {{/formula}} für {{formula}} a = -3 {{/formula}} senkrecht zu {{formula}} E {{/formula}}.)))
22 1. (((Damit eine Gerade vollständig in einer Ebene liegt, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
23 * Der Aufpunkt (Stützvektor) der Geraden muss in der Ebene liegen.
24 * Der Richtungsvektor der Geraden muss orthogonal (senkrecht) zum Normalenvektor der Ebene stehen (das Skalarprodukt muss null sein).
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27 Wir setzen den Aufpunkt {{formula}} (1|-2|0) {{/formula}} in die Ebenengleichung ein:
28 {{formula}}
29 \begin{align*}
30 1 - (-2) + 0 - 3 &= 0 \\
31 1 + 2 - 3 &= 0 \\
32 0 &= 0
33 \end{align*}
34 {{/formula}}
35 Da wir eine ware Aussage erhalten haben, gilt somit {{formula}}(1|-2|0)\in E {{/formula}}.
36
37
38 Da das Skalarprodukt aus dem Richtungsvektor der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene null ergeben muss, erhalten wir folgende Gleichung:
39 {{formula}}
40 \begin{align*}
41 & \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ 1+a \\ 2 \end{pmatrix} = 0 \\
42 \Leftrightarrow \quad & 2-1-a+2=0 \\
43 \end{align*}
44 {{/formula}}
45
46
47 Da die Gleichung {{formula}} 2-1-a+2=0{{/formula}} lösbar ist, gibt es einen Wert für {{formula}} a {{/formula}} ({{formula}}a=3{{/formula}}), für den die Gerade {{formula}}g_a{{/formula}} in {{formula}}E{{/formula}} liegt.)))