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Wiki-Quellcode von Lösung Spiegeln

Version 1.1 von Holger Engels am 2026/05/06 15:35
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1 1. Aufstellen der Lotgeraden //g//
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3 Die Lotgerade //g// verläuft durch den Punkt //P(0|0|0)// und steht senkrecht auf der Ebene //E//. Als Richtungsvektor der Geraden verwenden wir den Normalenvektor {{formula}}\vec{n}{{/formula}} der Ebene:
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5 {{formula}}\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}
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7 //g//: {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 1 \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}
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9 2. Berechnung des Lotfußpunktes //L//
10 Der Lotfußpunkt //L// ist der Schnittpunkt der Geraden //g// mit der Ebene //E//. Wir setzen die Komponenten von //g// in die Ebenengleichung ein:
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12 {{formula}}2(2t) - (-t) + (t) = 4{{/formula}}
13 {{formula}}4t + t + t = 4{{/formula}}
14 {{formula}}6t = 4 \implies t = \frac{2}{3}{{/formula}}
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16 //t// einsetzen in //g//: {{formula}}\vec{L} = \frac{2}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 \ -1 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/3 \ -2/3 \ 2/3 \end{pmatrix}{{/formula}}
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18 3. Spiegelung zum Punkt //P'//
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20 Da //L// genau in der Mitte zwischen //P// und dem Spiegelpunkt //P'// liegt, erreichen wir //P'//, indem wir den doppelten Parameterwert ({{formula}}t = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}{{/formula}}) verwenden:
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22 {{formula}}\vec{P'} = \vec{P} + 2 \cdot \vec{PL} = 2 \cdot \vec{L}{{/formula}}
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24 {{formula}}\vec{P'} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 4/3 \ -2/3 \ 2/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8/3 \ -4/3 \ 4/3 \end{pmatrix}{{/formula}}