Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -6,45 +6,139 @@
6	6	{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7	7	Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
8	8	{{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
9		-Bestimme den Abstand der beiden Punkte.
10	10	(%class=abc%)
11		-1. Bestimme den Abstand //d// den //Q// von //P// hat.
	10	+1. Bestimme den Abstand //d//, den //Q// von //P// hat.
12	12	1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
13	13	{{/aufgabe}}
14	14
15	15	{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
16		-Gegeben seien Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}}, {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}P{{/formula}} im Raum. Es liegt //C// nicht auf der Verbindungsgeraden von //A/ und //B//, es liegt //P// nicht in der Ebene //A//, //B// und //C//. Betrachtet werden die drei Abstände {{formula}}d(P;A), \quad d(P;g(A,B)), \quad d(P;E(A,B,C)){{/formula}}.
	15	+Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
17	17
	17	+{{formula}}
	18	+d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
	19	+{{/formula}}
	20	+
18	18	(%class=abc%)
19		-1. Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
20		-1. (((Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
	22	+1. (((
	23	+Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
21	21
	25	+Zeige dazu:
	26	+
22	22	{{formula}}
	28	+\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
	29	+{{/formula}}
	30	+
	31	+und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
	32	+)))
	33	+1. (((
	34	+Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
	35	+
	36	+{{formula}}
23	23	d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
24	24	{{/formula}}
25	25
26	26	Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
27	27	)))
28		-1. (((Zeige:
	42	+1. (((
	43	+Untersuche die Gleichheitsfälle:
29	29
	45	+* Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
	46	+* Wann gilt {{formula}}d(P;g(A;B))=d(P;E(A;B;C)){{/formula}}?
	47	+
	48	+Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
	49	+)))
	50	+1. (((
	51	+Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
	52	+
	53	+Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
	54	+)))
	55	+1. (((
	56	+Formuliere eine allgemeine Aussage:
	57	+
30	30	{{formula}}
31		-\{A\}\subset g(A,B)\subset E(A,B,C).
	59	+M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
32	32	{{/formula}}
33	33
34		-Leite daraus eine allgemeine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
	62	+Erläutere diese Aussage geometrisch.
35	35	)))
36		-1. (((Untersuche die Gleichheitsfälle:
37		- * Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A,B)){{/formula}}?
38		- * Wann gilt {{formula}}d(P;g(A,B))=d(P;E(A,B,C)){{/formula}}?
	64	+{{/aufgabe}}
39	39
40		-Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
	66	+{{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
	67	+Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
	68	+
	69	+Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
	70	+Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
	71	+{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
	72	+beschrieben.
	73	+Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
	74	+
	75	+(%class=abc%)
	76	+1. (((
	77	+Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
	78	+Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
	79	+
	80	+Markiere in deiner Skizze:
	81	+* die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
	82	+* den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
	83	+* eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
41	41	)))
42		-1. Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
43		-1. (((Formuliere eine allgemeine Aussage:
	85	+1. (((
	86	+Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
	87	+Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
	88	+)))
	89	+1. (((
	90	+Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
	91	+Berechne dazu einen geeigneten Punkt {{formula}}F_g \in g{{/formula}}, der den Abstand realisiert.
	92	+)))
	93	+1. (((
	94	+Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt {{formula}}A{{/formula}}.
	95	+)))
	96	+1. (((
	97	+Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
44	44
	99	+Überprüfe anhand deiner Ergebnisse die Vermutung aus der Strukturaufgabe und erläutere kurz, wie sich die Lage der Mengen {{formula}}\{A\}{{/formula}}, {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} auf die Abstände auswirkt.
	100	+)))
	101	+1. (((
	102	+Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
	103	+
	104	+Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.
	105	+)))
	106	+{{/aufgabe}}
	107	+
	108	+{{aufgabe id="Abstandsprobleme Punkt Gerade Ebene" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="18"}}
	109	+Gegeben seien ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}, ein Punkt {{formula}}A{{/formula}}, eine Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}A\in g{{/formula}} und eine Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit {{formula}}g\subset E{{/formula}}. Der Punkt {{formula}}P{{/formula}} liege nicht in der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
	110	+
	111	+Betrachtet werden die Abstände
	112	+
45	45	{{formula}}
	114	+d(P;A),\quad d(P;g),\quad d(P;E).
	115	+{{/formula}}
	116	+
	117	+(%class=abc%)
	118	+1. (((
	119	+Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
	120	+)))
	121	+1. (((
	122	+Beschreibe die drei Abstände jeweils als Minimierungsproblem der Form
	123	+
	124	+{{formula}}
	125	+d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X\in M\,\}.
	126	+{{/formula}}
	127	+
	128	+Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
	129	+)))
	130	+1. (((
	131	+Beschreibe für {{formula}}d(P;g){{/formula}} und {{formula}}d(P;E){{/formula}} jeweils den Punkt, der den Abstand realisiert.
	132	+
	133	+Formuliere die zugehörige Orthogonalitätsbedingung.
	134	+)))
	135	+1. (((
	136	+Erläutere allgemein:
	137	+
	138	+{{formula}}
46	46	M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
47	47	{{/formula}}
48	48
49		-Erläutere diese Aussage geometrisch.)))
	142	+Beziehe diese Aussage auf die drei gegebenen Abstände.
	143	+)))
50	50	{{/aufgabe}}