Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -6,17 +6,14 @@
6	6	{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7	7	Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
8	8	{{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
9		-Bestimme den Abstand der beiden Punkte.
10	10	(%class=abc%)
11		-1. Bestimme den Abstand //d// den //Q// von //P// hat.
	10	+1. Bestimme den Abstand //d//, den //Q// von //P// hat.
12	12	1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
13	13	{{/aufgabe}}
14	14
15	15	{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
16		-Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf der der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in der der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt.
	15	+Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
17	17
18		-Betrachtet werden die drei Abstände
19		-
20	20	{{formula}}
21	21	d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
22	22	{{/formula}}
...	...	@@ -33,7 +33,6 @@
33	33
34	34	und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
35	35	)))
36		-
37	37	1. (((
38	38	Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
39	39
...	...	@@ -43,7 +43,6 @@
43	43
44	44	Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
45	45	)))
46		-
47	47	1. (((
48	48	Untersuche die Gleichheitsfälle:
49	49
...	...	@@ -52,13 +52,11 @@
52	52
53	53	Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
54	54	)))
55		-
56	56	1. (((
57	57	Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
58	58
59	59	Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
60	60	)))
61		-
62	62	1. (((
63	63	Formuliere eine allgemeine Aussage:
64	64
...	...	@@ -69,3 +69,106 @@
69	69	Erläutere diese Aussage geometrisch.
70	70	)))
71	71	{{/aufgabe}}
	65	+
	66	+{{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
	67	+Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
	68	+
	69	+Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
	70	+Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
	71	+{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
	72	+beschrieben.
	73	+Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
	74	+
	75	+(%class=abc%)
	76	+1. (((
	77	+Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
	78	+Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
	79	+
	80	+Markiere in deiner Skizze:
	81	+* die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
	82	+* den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
	83	+* eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
	84	+)))
	85	+1. (((
	86	+Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
	87	+Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
	88	+)))
	89	+1. (((
	90	+Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
	91	+Berechne dazu einen geeigneten Punkt {{formula}}F_g \in g{{/formula}}, der den Abstand realisiert.
	92	+)))
	93	+1. (((
	94	+Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt {{formula}}A{{/formula}}.
	95	+)))
	96	+1. (((
	97	+Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
	98	+
	99	+Überprüfe anhand deiner Ergebnisse die Vermutung aus der Strukturaufgabe und erläutere kurz, wie sich die Lage der Mengen {{formula}}\{A\}{{/formula}}, {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} auf die Abstände auswirkt.
	100	+)))
	101	+1. (((
	102	+Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
	103	+
	104	+Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.
	105	+)))
	106	+{{/aufgabe}}
	107	+
	108	+{{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
	109	+Gegeben seien zwei windschiefe Geraden
	110	+
	111	+{{formula}}
	112	+g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1
	113	+{{/formula}}
	114	+
	115	+und
	116	+
	117	+{{formula}}
	118	+g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2.
	119	+{{/formula}}
	120	+
	121	+Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.
	122	+
	123	+(%class=abc%)
	124	+1. (((
	125	+Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
	126	+
	127	+Zeige, dass die Ebene
	128	+
	129	+{{formula}}
	130	+E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2
	131	+{{/formula}}
	132	+
	133	+die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
	134	+)))
	135	+1. (((
	136	+Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
	137	+)))
	138	+1. (((
	139	+Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
	140	+
	141	+{{formula}}
	142	+d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
	143	+{{/formula}}
	144	+)))
	145	+1. (((
	146	+Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
	147	+
	148	+{{formula}}
	149	+d(g_2;E)=d(P_2;E).
	150	+{{/formula}}
	151	+)))
	152	+1. (((
	153	+Fasse die Rückführung zusammen:
	154	+
	155	+{{formula}}
	156	+d(g_1;g_2)=d(P_2;E)
	157	+{{/formula}}
	158	+
	159	+mit
	160	+
	161	+{{formula}}
	162	+E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2.
	163	+{{/formula}}
	164	+
	165	+Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
	166	+)))
	167	+{{/aufgabe}}