Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -6,17 +6,15 @@
6	6	{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7	7	Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
8	8	{{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
9		-Bestimme den Abstand der beiden Punkte.
10	10	(%class=abc%)
11		-1. Bestimme den Abstand //d// den //Q// von //P// hat.
	10	+1. Bestimme den Abstand //d//, den //Q// von //P// hat.
12	12	1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
	12	+1. Interpretiere den Abstand als Länge eines Verbindungsvektors.
13	13	{{/aufgabe}}
14	14
15	15	{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
16		-Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf der der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in der der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt.
	16	+Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
17	17
18		-Betrachtet werden die drei Abstände
19		-
20	20	{{formula}}
21	21	d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
22	22	{{/formula}}
...	...	@@ -33,7 +33,6 @@
33	33
34	34	und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
35	35	)))
36		-
37	37	1. (((
38	38	Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
39	39
...	...	@@ -43,7 +43,6 @@
43	43
44	44	Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
45	45	)))
46		-
47	47	1. (((
48	48	Untersuche die Gleichheitsfälle:
49	49
...	...	@@ -52,13 +52,11 @@
52	52
53	53	Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
54	54	)))
55		-
56	56	1. (((
57	57	Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
58	58
59	59	Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
60	60	)))
61		-
62	62	1. (((
63	63	Formuliere eine allgemeine Aussage:
64	64
...	...	@@ -69,3 +69,106 @@
69	69	Erläutere diese Aussage geometrisch.
70	70	)))
71	71	{{/aufgabe}}
	66	+
	67	+{{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
	68	+Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
	69	+
	70	+Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
	71	+Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
	72	+{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
	73	+beschrieben.
	74	+Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
	75	+
	76	+(%class=abc%)
	77	+1. (((
	78	+Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
	79	+Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
	80	+
	81	+Markiere in deiner Skizze:
	82	+* die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
	83	+* den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
	84	+* eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
	85	+)))
	86	+1. (((
	87	+Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
	88	+Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
	89	+)))
	90	+1. (((
	91	+Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
	92	+Berechne dazu einen geeigneten Punkt {{formula}}F_g \in g{{/formula}}, der den Abstand realisiert.
	93	+)))
	94	+1. (((
	95	+Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt {{formula}}A{{/formula}}.
	96	+)))
	97	+1. (((
	98	+Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
	99	+
	100	+Überprüfe anhand deiner Ergebnisse die Vermutung aus der Strukturaufgabe und erläutere kurz, wie sich die Lage der Mengen {{formula}}\{A\}{{/formula}}, {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} auf die Abstände auswirkt.
	101	+)))
	102	+1. (((
	103	+Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
	104	+
	105	+Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.
	106	+)))
	107	+{{/aufgabe}}
	108	+
	109	+{{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
	110	+Gegeben seien zwei windschiefe Geraden
	111	+
	112	+{{formula}}
	113	+g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1
	114	+{{/formula}}
	115	+
	116	+und
	117	+
	118	+{{formula}}
	119	+g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2.
	120	+{{/formula}}
	121	+
	122	+Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.
	123	+
	124	+(%class=abc%)
	125	+1. (((
	126	+Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
	127	+
	128	+Zeige, dass die Ebene
	129	+
	130	+{{formula}}
	131	+E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2
	132	+{{/formula}}
	133	+
	134	+die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
	135	+)))
	136	+1. (((
	137	+Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
	138	+)))
	139	+1. (((
	140	+Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
	141	+
	142	+{{formula}}
	143	+d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
	144	+{{/formula}}
	145	+)))
	146	+1. (((
	147	+Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
	148	+
	149	+{{formula}}
	150	+d(g_2;E)=d(P_2;E).
	151	+{{/formula}}
	152	+)))
	153	+1. (((
	154	+Fasse die Rückführung zusammen:
	155	+
	156	+{{formula}}
	157	+d(g_1;g_2)=d(P_2;E)
	158	+{{/formula}}
	159	+
	160	+mit
	161	+
	162	+{{formula}}
	163	+E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2.
	164	+{{/formula}}
	165	+
	166	+Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
	167	+)))
	168	+{{/aufgabe}}