Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

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Inhalt

...	...	@@ -4,15 +4,15 @@
4	4	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
5	5
6	6	{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7		-Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
8		-{{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
	7	+Gegeben sind zwei Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
9	9	(%class=abc%)
10		-1. Bestimme den Abstand //d//, den //Q// von //P// hat.
	9	+1. Bestimme den Abstand //d(P;Q)// zwischen //Q// und //P//.
11	11	1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
	11	+1. Interpretiere den Abstand als Länge eines Verbindungsvektors.
12	12	{{/aufgabe}}
13	13
14	14	{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
15		-Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf der der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in der der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
	15	+Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
16	16
17	17	{{formula}}
18	18	d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
...	...	@@ -22,13 +22,7 @@
22	22	1. (((
23	23	Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
24	24
25		-Zeige dazu:
26		-
27		-{{formula}}
28		-\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
29		-{{/formula}}
30		-
31		-und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
	25	+Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
32	32	)))
33	33	1. (((
34	34	Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
...	...	@@ -96,8 +96,7 @@
96	96	1. (((
97	97	Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
98	98
99		-Überprüfe anhand deiner Ergebnisse die Vermutung aus der Strukturaufgabe und erläutere kurz, wie sich die Lage der Mengen {{formula}}\{A\}{{/formula}}, {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} auf die Abstände auswirkt.
100		-)))
	93	+Erläutere anhand deiner Ergebnisse, warum die Drohne der Landefläche näher ist als der Begrenzungslinie und dem Punkt A.)))
101	101	1. (((
102	102	Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
103	103
...	...	@@ -104,3 +104,49 @@
104	104	Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.
105	105	)))
106	106	{{/aufgabe}}
	100	+
	101	+{{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
	102	+**Hinweis:** //Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In den vorherigen Aufgaben wurden Abstände auf Punkt–Gerade–Ebene zurückgeführt. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.//
	103	+
	104	+Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
	105	+
	106	+(%class=abc%)
	107	+1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
	108	+
	109	+Zeige, dass die Ebene
	110	+
	111	+{{formula}}
	112	+E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2
	113	+{{/formula}}
	114	+
	115	+die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
	116	+)))
	117	+1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
	118	+)))
	119	+1. (((Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
	120	+
	121	+{{formula}}
	122	+d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
	123	+{{/formula}}
	124	+)))
	125	+1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
	126	+
	127	+{{formula}}
	128	+d(g_2;E)=d(P_2;E).
	129	+{{/formula}}
	130	+)))
	131	+1. (((Fasse die Rückführung zusammen:
	132	+
	133	+{{formula}}
	134	+d(g_1;g_2)=d(P_2;E)
	135	+{{/formula}}
	136	+
	137	+mit
	138	+
	139	+{{formula}}
	140	+E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2.
	141	+{{/formula}}
	142	+
	143	+Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
	144	+)))
	145	+{{/aufgabe}}