Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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6	6	{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7	7	Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
8	8	{{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
	9	+Bestimme den Abstand der beiden Punkte.
9	9	(%class=abc%)
10		-1. Bestimme den Abstand //d//, den //Q// von //P// hat.
	11	+1. Bestimme den Abstand //d// den //Q// von //P// hat.
11	11	1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
12	12	{{/aufgabe}}
13	13
14	14	{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
15		-Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
	16	+Gegeben seien Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}}, {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}P{{/formula}} im Raum. Es liegt //C// nicht auf der Verbindungsgeraden von //A/ und //B//, es liegt //P// nicht in der Ebene //A//, //B// und //C//. Betrachtet werden die drei Abstände {{formula}}d(P;A), \quad d(P;g(A,B)), \quad d(P;E(A,B,C)){{/formula}}.
16	16
17		-{{formula}}
18		-d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
19		-{{/formula}}
20		-
21	21	(%class=abc%)
22		-1. (((
23		-Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
	19	+1. Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
	20	+1. (((Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
24	24
25		-Zeige dazu:
26		-
27	27	{{formula}}
28		-\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
	23	+d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
29	29	{{/formula}}
30	30
31		-und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
	26	+Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
32	32	)))
33		-1. (((
34		-Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
	28	+1. (((Zeige:
35	35
36	36	{{formula}}
37		-d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
	31	+\{A\}\subset g(A,B)\subset E(A,B,C).
38	38	{{/formula}}
39	39
40		-Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
	34	+Leite daraus eine allgemeine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
41	41	)))
42		-1. (((
43		-Untersuche die Gleichheitsfälle:
	36	+1. (((Untersuche die Gleichheitsfälle:
	37	+ * Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A,B)){{/formula}}?
	38	+ * Wann gilt {{formula}}d(P;g(A,B))=d(P;E(A,B,C)){{/formula}}?
44	44
45		-* Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
46		-* Wann gilt {{formula}}d(P;g(A;B))=d(P;E(A;B;C)){{/formula}}?
47		-
48	48	Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
49	49	)))
50		-1. (((
51		-Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
	42	+1. Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
	43	+1. (((Formuliere eine allgemeine Aussage:
52	52
53		-Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
54		-)))
55		-1. (((
56		-Formuliere eine allgemeine Aussage:
57		-
58	58	{{formula}}
59	59	M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
60	60	{{/formula}}
61	61
62		-Erläutere diese Aussage geometrisch.
63		-)))
	49	+Erläutere diese Aussage geometrisch.)))
64	64	{{/aufgabe}}
65		-
66		-{{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
67		-Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
68		-
69		-Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
70		-Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
71		-{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
72		-beschrieben.
73		-Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
74		-
75		-(%class=abc%)
76		-1. (((
77		-Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
78		-Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
79		-
80		-Markiere in deiner Skizze:
81		-* die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
82		-* den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
83		-* eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
84		-)))
85		-1. (((
86		-Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
87		-Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
88		-)))
89		-1. (((
90		-Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
91		-Berechne dazu einen geeigneten Punkt {{formula}}F_g \in g{{/formula}}, der den Abstand realisiert.
92		-)))
93		-1. (((
94		-Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt {{formula}}A{{/formula}}.
95		-)))
96		-1. (((
97		-Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
98		-
99		-Überprüfe anhand deiner Ergebnisse die Vermutung aus der Strukturaufgabe und erläutere kurz, wie sich die Lage der Mengen {{formula}}\{A\}{{/formula}}, {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} auf die Abstände auswirkt.
100		-)))
101		-1. (((
102		-Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
103		-
104		-Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.
105		-)))
106		-{{/aufgabe}}
107		-
108		-{{aufgabe id="Abstandsprobleme zurückführen" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="18"}}
109		-Gegeben seien zwei Geraden
110		-
111		-{{formula}}
112		-g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1
113		-{{/formula}}
114		-
115		-und
116		-
117		-{{formula}}
118		-g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2.
119		-{{/formula}}
120		-
121		-Die Geraden seien windschief, insbesondere gilt {{formula}}\vec{u}_1{{/formula}} ist kein Vielfaches von {{formula}}\vec{u}_2{{/formula}}.
122		-
123		-(%class=abc%)
124		-1. (((
125		-Beschreibe, weshalb der Abstand zweier windschiefer Geraden ein neues Abstandsproblem darstellt.
126		-
127		-Vergleiche dazu mit den bereits bekannten Abstandsproblemen:
128		-* Punkt – Punkt
129		-* Punkt – Gerade
130		-* Punkt – Ebene
131		-)))
132		-1. (((
133		-Konstruiere eine Ebene {{formula}}E{{/formula}}, die die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zur Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
134		-
135		-Gib diese Ebene in Parameterform an.
136		-)))
137		-1. (((
138		-Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
139		-)))
140		-1. (((
141		-Begründe die Rückführung
142		-
143		-{{formula}}
144		-d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
145		-{{/formula}}
146		-
147		-Erläutere geometrisch, warum sich der Abstand dabei nicht verändert.
148		-)))
149		-1. (((
150		-Begründe anschließend die Rückführung
151		-
152		-{{formula}}
153		-d(g_2;E)=d(P_2;E).
154		-{{/formula}}
155		-
156		-Erkläre, warum ein beliebiger Punkt {{formula}}P_2{{/formula}} der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} genügt.
157		-)))
158		-1. (((
159		-Formuliere die vollständige Rückführung:
160		-
161		-{{formula}}
162		-d(g_1;g_2)=d(P_2;E(P_1;\vec{u}_1;\vec{u}_2)).
163		-{{/formula}}
164		-
165		-Beschreibe in eigenen Worten die verwendete Problemlösestrategie.
166		-)))
167		-1. (((
168		-Bestimme einen Normalenvektor der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
169		-
170		-Erkläre, wie sich der Abstand der windschiefen Geraden dadurch als Punkt-Ebene-Abstand berechnen lässt.
171		-)))
172		-{{/aufgabe}}