Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -4,11 +4,11 @@
4	4	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
5	5
6	6	{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7		-Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
8		-{{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
	7	+Gegeben sind zwei Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
9	9	(%class=abc%)
10		-1. Bestimme den Abstand //d//, den //Q// von //P// hat.
11		-1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
	9	+1. Bestimme den Abstand //d(P;Q)// zwischen //Q// und //P//.
	10	+1. Gib einen Punkt //R// an, der ebenfalls den Abstand //d// zu //P// hat.
	11	+1. Interpretiere den Abstand als Länge eines Verbindungsvektors.
12	12	{{/aufgabe}}
13	13
14	14	{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
...	...	@@ -22,13 +22,7 @@
22	22	1. (((
23	23	Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
24	24
25		-Zeige dazu:
26		-
27		-{{formula}}
28		-\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
29		-{{/formula}}
30		-
31		-und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
	25	+Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
32	32	)))
33	33	1. (((
34	34	Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
...	...	@@ -53,13 +53,11 @@
53	53	Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
54	54	)))
55	55	1. (((
56		-Formuliere eine allgemeine Aussage:
	50	+Erläutere folgende Aussage geometrisch:
57	57
58	58	{{formula}}
59	59	M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
60	60	{{/formula}}
61		-
62		-Erläutere diese Aussage geometrisch.
63	63	)))
64	64	{{/aufgabe}}
65	65
...	...	@@ -96,8 +96,7 @@
96	96	1. (((
97	97	Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
98	98
99		-Überprüfe anhand deiner Ergebnisse die Vermutung aus der Strukturaufgabe und erläutere kurz, wie sich die Lage der Mengen {{formula}}\{A\}{{/formula}}, {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} auf die Abstände auswirkt.
100		-)))
	91	+Erläutere anhand deiner Ergebnisse, warum die Drohne der Landefläche näher ist als der Begrenzungslinie und dem Punkt A.)))
101	101	1. (((
102	102	Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
103	103
...	...	@@ -105,68 +105,48 @@
105	105	)))
106	106	{{/aufgabe}}
107	107
108		-{{aufgabe id="Abstandsprobleme zurückführen" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="18"}}
109		-Gegeben seien zwei Geraden
	99	+{{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
	100	+**Hinweis:** //Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In den vorherigen Aufgaben wurden Abstände auf Punkt–Gerade–Ebene zurückgeführt. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.//
110	110
111		-{{formula}}
112		-g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1
113		-{{/formula}}
	102	+Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
114	114
115		-und
	104	+(%class=abc%)
	105	+1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
116	116
	107	+Zeige, dass die Ebene
	108	+
117	117	{{formula}}
118		-g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2.
	110	+E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2
119	119	{{/formula}}
120	120
121		-Die Geraden seien windschief, insbesondere gilt {{formula}}\vec{u}_1{{/formula}} ist kein Vielfaches von {{formula}}\vec{u}_2{{/formula}}.
122		-
123		-(%class=abc%)
124		-1. (((
125		-Beschreibe, weshalb der Abstand zweier windschiefer Geraden ein neues Abstandsproblem darstellt.
126		-
127		-Vergleiche dazu mit den bereits bekannten Abstandsproblemen:
128		-* Punkt – Punkt
129		-* Punkt – Gerade
130		-* Punkt – Ebene
	113	+die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
131	131	)))
132		-1. (((
133		-Konstruiere eine Ebene {{formula}}E{{/formula}}, die die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zur Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
134		-
135		-Gib diese Ebene in Parameterform an.
	115	+1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
136	136	)))
137		-1. (((
138		-Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
139		-)))
140		-1. (((
141		-Begründe die Rückführung
	117	+1. (((Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
142	142
143	143	{{formula}}
144	144	d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
145	145	{{/formula}}
146		-
147		-Erläutere geometrisch, warum sich der Abstand dabei nicht verändert.
148	148	)))
149		-1. (((
150		-Begründe anschließend die Rückführung
	123	+1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
151	151
152	152	{{formula}}
153	153	d(g_2;E)=d(P_2;E).
154	154	{{/formula}}
155		-
156		-Erkläre, warum ein beliebiger Punkt {{formula}}P_2{{/formula}} der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} genügt.
157	157	)))
158		-1. (((
159		-Formuliere die vollständige Rückführung:
	129	+1. (((Fasse die Rückführung zusammen:
160	160
161	161	{{formula}}
162		-d(g_1;g_2)=d(P_2;E(P_1;\vec{u}_1;\vec{u}_2)).
	132	+d(g_1;g_2)=d(P_2;E)
163	163	{{/formula}}
164	164
165		-Beschreibe in eigenen Worten die verwendete Problemlösestrategie.
166		-)))
167		-1. (((
168		-Bestimme einen Normalenvektor der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
	135	+mit
169	169
170		-Erkläre, wie sich der Abstand der windschiefen Geraden dadurch als Punkt-Ebene-Abstand berechnen lässt.
	137	+{{formula}}
	138	+E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2.
	139	+{{/formula}}
	140	+
	141	+Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
171	171	)))
172	172	{{/aufgabe}}