Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -6,139 +6,45 @@
6	6	{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7	7	Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
8	8	{{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
	9	+Bestimme den Abstand der beiden Punkte.
9	9	(%class=abc%)
10		-1. Bestimme den Abstand //d//, den //Q// von //P// hat.
	11	+1. Bestimme den Abstand //d// den //Q// von //P// hat.
11	11	1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
12	12	{{/aufgabe}}
13	13
14	14	{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
15		-Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
	16	+Gegeben seien Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}}, {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}P{{/formula}} im Raum. Es liegt //C// nicht auf der Verbindungsgeraden von //A/ und //B//, es liegt //P// nicht in der Ebene //A//, //B// und //C//. Betrachtet werden die drei Abstände {{formula}}d(P;A), \quad d(P;g(A,B)), \quad d(P;E(A,B,C)){{/formula}}.
16	16
17		-{{formula}}
18		-d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
19		-{{/formula}}
20		-
21	21	(%class=abc%)
22		-1. (((
23		-Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
	19	+1. Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
	20	+1. (((Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
24	24
25		-Zeige dazu:
26		-
27	27	{{formula}}
28		-\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
29		-{{/formula}}
30		-
31		-und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
32		-)))
33		-1. (((
34		-Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
35		-
36		-{{formula}}
37	37	d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
38	38	{{/formula}}
39	39
40	40	Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
41	41	)))
42		-1. (((
43		-Untersuche die Gleichheitsfälle:
	28	+1. (((Zeige:
44	44
45		-* Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
46		-* Wann gilt {{formula}}d(P;g(A;B))=d(P;E(A;B;C)){{/formula}}?
47		-
48		-Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
49		-)))
50		-1. (((
51		-Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
52		-
53		-Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
54		-)))
55		-1. (((
56		-Formuliere eine allgemeine Aussage:
57		-
58	58	{{formula}}
59		-M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
	31	+\{A\}\subset g(A,B)\subset E(A,B,C).
60	60	{{/formula}}
61	61
62		-Erläutere diese Aussage geometrisch.
	34	+Leite daraus eine allgemeine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
63	63	)))
64		-{{/aufgabe}}
	36	+1. (((Untersuche die Gleichheitsfälle:
	37	+ * Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A,B)){{/formula}}?
	38	+ * Wann gilt {{formula}}d(P;g(A,B))=d(P;E(A,B,C)){{/formula}}?
65	65
66		-{{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
67		-Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
68		-
69		-Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
70		-Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
71		-{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
72		-beschrieben.
73		-Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
74		-
75		-(%class=abc%)
76		-1. (((
77		-Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
78		-Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
79		-
80		-Markiere in deiner Skizze:
81		-* die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
82		-* den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
83		-* eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
	40	+Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
84	84	)))
85		-1. (((
86		-Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
87		-Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
88		-)))
89		-1. (((
90		-Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
91		-Berechne dazu einen geeigneten Punkt {{formula}}F_g \in g{{/formula}}, der den Abstand realisiert.
92		-)))
93		-1. (((
94		-Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt {{formula}}A{{/formula}}.
95		-)))
96		-1. (((
97		-Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
	42	+1. Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
	43	+1. (((Formuliere eine allgemeine Aussage:
98	98
99		-Überprüfe anhand deiner Ergebnisse die Vermutung aus der Strukturaufgabe und erläutere kurz, wie sich die Lage der Mengen {{formula}}\{A\}{{/formula}}, {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} auf die Abstände auswirkt.
100		-)))
101		-1. (((
102		-Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
103		-
104		-Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.
105		-)))
106		-{{/aufgabe}}
107		-
108		-{{aufgabe id="Abstandsprobleme Punkt Gerade Ebene" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="18"}}
109		-Gegeben seien ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}, ein Punkt {{formula}}A{{/formula}}, eine Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}A\in g{{/formula}} und eine Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit {{formula}}g\subset E{{/formula}}. Der Punkt {{formula}}P{{/formula}} liege nicht in der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
110		-
111		-Betrachtet werden die Abstände
112		-
113	113	{{formula}}
114		-d(P;A),\quad d(P;g),\quad d(P;E).
115		-{{/formula}}
116		-
117		-(%class=abc%)
118		-1. (((
119		-Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
120		-)))
121		-1. (((
122		-Beschreibe die drei Abstände jeweils als Minimierungsproblem der Form
123		-
124		-{{formula}}
125		-d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X\in M\,\}.
126		-{{/formula}}
127		-
128		-Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
129		-)))
130		-1. (((
131		-Beschreibe für {{formula}}d(P;g){{/formula}} und {{formula}}d(P;E){{/formula}} jeweils den Punkt, der den Abstand realisiert.
132		-
133		-Formuliere die zugehörige Orthogonalitätsbedingung.
134		-)))
135		-1. (((
136		-Erläutere allgemein:
137		-
138		-{{formula}}
139	139	M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
140	140	{{/formula}}
141	141
142		-Beziehe diese Aussage auf die drei gegebenen Abstände.
143		-)))
	49	+Erläutere diese Aussage geometrisch.)))
144	144	{{/aufgabe}}