Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -6,14 +6,17 @@
6	6	{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7	7	Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
8	8	{{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
	9	+Bestimme den Abstand der beiden Punkte.
9	9	(%class=abc%)
10		-1. Bestimme den Abstand //d//, den //Q// von //P// hat.
	11	+1. Bestimme den Abstand //d// den //Q// von //P// hat.
11	11	1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
12	12	{{/aufgabe}}
13	13
14	14	{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
15		-Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
	16	+Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf der der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in der der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt.
16	16
	18	+Betrachtet werden die drei Abstände
	19	+
17	17	{{formula}}
18	18	d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
19	19	{{/formula}}
...	...	@@ -30,6 +30,7 @@
30	30
31	31	und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
32	32	)))
	36	+
33	33	1. (((
34	34	Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
35	35
...	...	@@ -39,6 +39,7 @@
39	39
40	40	Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
41	41	)))
	46	+
42	42	1. (((
43	43	Untersuche die Gleichheitsfälle:
44	44
...	...	@@ -47,11 +47,13 @@
47	47
48	48	Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
49	49	)))
	55	+
50	50	1. (((
51	51	Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
52	52
53	53	Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
54	54	)))
	61	+
55	55	1. (((
56	56	Formuliere eine allgemeine Aussage:
57	57
...	...	@@ -62,144 +62,3 @@
62	62	Erläutere diese Aussage geometrisch.
63	63	)))
64	64	{{/aufgabe}}
65		-
66		-{{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
67		-Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
68		-
69		-Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
70		-Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
71		-{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
72		-beschrieben.
73		-Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
74		-
75		-(%class=abc%)
76		-1. (((
77		-Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
78		-Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
79		-
80		-Markiere in deiner Skizze:
81		-* die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
82		-* den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
83		-* eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
84		-)))
85		-1. (((
86		-Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
87		-Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
88		-)))
89		-1. (((
90		-Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
91		-Berechne dazu einen geeigneten Punkt {{formula}}F_g \in g{{/formula}}, der den Abstand realisiert.
92		-)))
93		-1. (((
94		-Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt {{formula}}A{{/formula}}.
95		-)))
96		-1. (((
97		-Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
98		-
99		-Überprüfe anhand deiner Ergebnisse die Vermutung aus der Strukturaufgabe und erläutere kurz, wie sich die Lage der Mengen {{formula}}\{A\}{{/formula}}, {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} auf die Abstände auswirkt.
100		-)))
101		-1. (((
102		-Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
103		-
104		-Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.
105		-)))
106		-{{/aufgabe}}
107		-
108		-{{aufgabe id="Abstandsprobleme Punkt Gerade Ebene" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="18"}}
109		-Gegeben seien ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}, ein Punkt {{formula}}A{{/formula}}, eine Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}A\in g{{/formula}} und eine Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit {{formula}}g\subset E{{/formula}}. Der Punkt {{formula}}P{{/formula}} liege nicht in der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
110		-
111		-Betrachtet werden die Abstände
112		-
113		-{{formula}}
114		-d(P;A),\quad d(P;g),\quad d(P;E).
115		-{{/formula}}
116		-
117		-(%class=abc%)
118		-1. (((
119		-Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
120		-)))
121		-1. (((
122		-Beschreibe die drei Abstände jeweils als Minimierungsproblem der Form
123		-
124		-{{formula}}
125		-d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X\in M\,\}.
126		-{{/formula}}
127		-
128		-Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
129		-)))
130		-1. (((
131		-Beschreibe für {{formula}}d(P;g){{/formula}} und {{formula}}d(P;E){{/formula}} jeweils den Punkt, der den Abstand realisiert.
132		-
133		-Formuliere die zugehörige Orthogonalitätsbedingung.
134		-)))
135		-1. (((
136		-Erläutere allgemein:
137		-
138		-{{formula}}
139		-M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
140		-{{/formula}}
141		-
142		-Beziehe diese Aussage auf die drei gegebenen Abstände.
143		-)))
144		-{{/aufgabe}}
145		-
146		-{{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
147		-Gegeben seien zwei windschiefe Geraden
148		-
149		-{{formula}}
150		-g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1
151		-{{/formula}}
152		-
153		-und
154		-
155		-{{formula}}
156		-g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2.
157		-{{/formula}}
158		-
159		-Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.
160		-
161		-(%class=abc%)
162		-1. (((
163		-Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
164		-
165		-Zeige, dass die Ebene
166		-
167		-{{formula}}
168		-E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2
169		-{{/formula}}
170		-
171		-die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
172		-)))
173		-1. (((
174		-Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
175		-)))
176		-1. (((
177		-Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
178		-
179		-{{formula}}
180		-d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
181		-{{/formula}}
182		-)))
183		-1. (((
184		-Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
185		-
186		-{{formula}}
187		-d(g_2;E)=d(P_2;E).
188		-{{/formula}}
189		-)))
190		-1. (((
191		-Fasse die Rückführung zusammen:
192		-
193		-{{formula}}
194		-d(g_1;g_2)=d(P_2;E)
195		-{{/formula}}
196		-
197		-mit
198		-
199		-{{formula}}
200		-E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2.
201		-{{/formula}}
202		-
203		-Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
204		-)))
205		-{{/aufgabe}}