Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

Zusammenfassung

• Seiteneigenschaften (1 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -4,11 +4,11 @@
4	4	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
5	5
6	6	{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7		-Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
8		-{{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
	7	+Gegeben sind zwei Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
9	9	(%class=abc%)
10		-1. Bestimme den Abstand //d//, den //Q// von //P// hat.
11		-1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
	9	+1. Bestimme den Abstand //d(P;Q)// zwischen //Q// und //P//.
	10	+1. Gib einen Punkt //R// an, der ebenfalls den Abstand //d// zu //P// hat.
	11	+1. Interpretiere den Abstand als Länge eines Verbindungsvektors.
12	12	{{/aufgabe}}
13	13
14	14	{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
...	...	@@ -20,24 +20,10 @@
20	20
21	21	(%class=abc%)
22	22	1. (((
23		-Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
24		-
25		-Zeige dazu:
26		-
27		-{{formula}}
28		-\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
29		-{{/formula}}
30		-
31		-und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
	23	+Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
32	32	)))
33	33	1. (((
34		-Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
35		-
36		-{{formula}}
37		-d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
38		-{{/formula}}
39		-
40		-Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
	26	+Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
41	41	)))
42	42	1. (((
43	43	Untersuche die Gleichheitsfälle:
...	...	@@ -48,18 +48,14 @@
48	48	Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
49	49	)))
50	50	1. (((
51		-Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
52		-
53		-Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
	37	+Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
54	54	)))
55	55	1. (((
56		-Formuliere eine allgemeine Aussage:
	40	+Erläutere folgende Aussage geometrisch:
57	57
58	58	{{formula}}
59	59	M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
60	60	{{/formula}}
61		-
62		-Erläutere diese Aussage geometrisch.
63	63	)))
64	64	{{/aufgabe}}
65	65
...	...	@@ -66,25 +66,17 @@
66	66	{{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
67	67	Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
68	68
69		-Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
70		-Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
71		-{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
72		-beschrieben.
73		-Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
	51	+Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
74	74
75	75	(%class=abc%)
76	76	1. (((
77		-Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
78		-Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
79		-
80		-Markiere in deiner Skizze:
	55	+Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
81	81	* die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
82	82	* den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
83	83	* eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
84	84	)))
85	85	1. (((
86		-Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
87		-Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
	61	+Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
88	88	)))
89	89	1. (((
90	90	Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
...	...	@@ -96,8 +96,7 @@
96	96	1. (((
97	97	Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
98	98
99		-Überprüfe anhand deiner Ergebnisse die Vermutung aus der Strukturaufgabe und erläutere kurz, wie sich die Lage der Mengen {{formula}}\{A\}{{/formula}}, {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} auf die Abstände auswirkt.
100		-)))
	73	+Erläutere anhand deiner Ergebnisse, warum die Drohne der Landefläche näher ist als der Begrenzungslinie und dem Punkt A.)))
101	101	1. (((
102	102	Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
103	103
...	...	@@ -105,62 +105,13 @@
105	105	)))
106	106	{{/aufgabe}}
107	107
108		-{{aufgabe id="Abstandsprobleme Punkt Gerade Ebene" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="18"}}
109		-Gegeben seien ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}, ein Punkt {{formula}}A{{/formula}}, eine Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}A\in g{{/formula}} und eine Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit {{formula}}g\subset E{{/formula}}. Der Punkt {{formula}}P{{/formula}} liege nicht in der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
110		-
111		-Betrachtet werden die Abstände
112		-
113		-{{formula}}
114		-d(P;A),\quad d(P;g),\quad d(P;E).
115		-{{/formula}}
116		-
117		-(%class=abc%)
118		-1. (((
119		-Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
120		-)))
121		-1. (((
122		-Beschreibe die drei Abstände jeweils als Minimierungsproblem der Form
123		-
124		-{{formula}}
125		-d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X\in M\,\}.
126		-{{/formula}}
127		-
128		-Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
129		-)))
130		-1. (((
131		-Beschreibe für {{formula}}d(P;g){{/formula}} und {{formula}}d(P;E){{/formula}} jeweils den Punkt, der den Abstand realisiert.
132		-
133		-Formuliere die zugehörige Orthogonalitätsbedingung.
134		-)))
135		-1. (((
136		-Erläutere allgemein:
137		-
138		-{{formula}}
139		-M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
140		-{{/formula}}
141		-
142		-Beziehe diese Aussage auf die drei gegebenen Abstände.
143		-)))
144		-{{/aufgabe}}
145		-
146	146	{{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
147		-Gegeben seien zwei windschiefe Geraden
	82	+**Hinweis:** //Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In den vorherigen Aufgaben wurden Abstände auf Punkt–Gerade–Ebene zurückgeführt. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.//
148	148
149		-{{formula}}
150		-g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1
151		-{{/formula}}
	84	+Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
152	152
153		-und
154		-
155		-{{formula}}
156		-g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2.
157		-{{/formula}}
158		-
159		-Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.
160		-
161	161	(%class=abc%)
162		-1. (((
163		-Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
	87	+1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
164	164
165	165	Zeige, dass die Ebene
166	166
...	...	@@ -170,25 +170,21 @@
170	170
171	171	die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
172	172	)))
173		-1. (((
174		-Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
	97	+1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
175	175	)))
176		-1. (((
177		-Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
	99	+1. (((Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
178	178
179	179	{{formula}}
180	180	d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
181	181	{{/formula}}
182	182	)))
183		-1. (((
184		-Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
	105	+1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
185	185
186	186	{{formula}}
187	187	d(g_2;E)=d(P_2;E).
188	188	{{/formula}}
189	189	)))
190		-1. (((
191		-Fasse die Rückführung zusammen:
	111	+1. (((Fasse die Rückführung zusammen:
192	192
193	193	{{formula}}
194	194	d(g_1;g_2)=d(P_2;E)