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Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2026/05/12 19:46
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am 2026/04/27 17:08
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am 2026/04/28 09:16
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,16 +1,44 @@
1 1  {{seiteninhalt/}}
2 2  
3 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
3 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen. {{niveau}}g{{/niveau}}
4 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen. {{niveau}}e{{/niveau}}
4 4  [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
5 5  
7 +{{aufgabe id="Abstände Punkt Punkt Ebene" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" niveau=g zeit="18"}}
8 +Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}} sowie die Koordinatenebene
9 +
10 +{{formula}}E:\ z=0.{{/formula}}
11 +
12 +(%class=abc%)
13 +1. Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}} zwischen den Punkten {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}Q{{/formula}}.
14 +1. Gib einen Punkt {{formula}}R{{/formula}} an, der von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} hat.
15 +1. Bestimme den Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
16 +1. Betrachte zusätzlich die Punkte
17 + {{formula}}P_1(1|3|2){{/formula}}, {{formula}}P_2(1|3|-4){{/formula}}.
18 +
19 + Bestimme jeweils den Abstand dieser Punkte von der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
20 +1. Beschreibe, was dir beim Vergleich der Ergebnisse auffällt.
21 +{{/aufgabe}}
22 +
6 6  {{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7 -Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
8 -{{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
24 +Gegeben sind zwei Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
9 9  (%class=abc%)
10 -1. Bestimme den Abstand //d//, den //Q// von //P// hat.
11 -1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
26 +1. Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}} zwischen den Punkten {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}Q{{/formula}}.
27 +1. Gib einen Punkt {{formula}}R{{/formula}} an, der von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} hat.
28 +1. Interpretiere den Abstand als Länge eines Verbindungsvektors.
12 12  {{/aufgabe}}
13 13  
31 +{{aufgabe id="Abstände Punkt Punkt Gerade Ebene" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" niveau=g zeit="18"}}
32 +Gegeben sind zwei Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}} sowie die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}{{/formula}}.
33 +
34 +(%class=abc%)
35 +1. Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}} zwischen den Punkten {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}Q{{/formula}}.
36 +1. Gib einen Punkt {{formula}}R{{/formula}} an, der von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} hat.
37 +1. Interpretiere den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}} als Länge eines Verbindungsvektors.
38 +1. Bestimme den Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von den Koordinatenebenen.
39 +1. Bestimme den Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von der Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
40 +{{/aufgabe}}
41 +
14 14  {{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
15 15  Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
16 16  
... ... @@ -20,24 +20,10 @@
20 20  
21 21  (%class=abc%)
22 22  1. (((
23 -Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
24 -
25 -Zeige dazu:
26 -
27 -{{formula}}
28 -\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
29 -{{/formula}}
30 -
31 -und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
51 +Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
32 32  )))
33 33  1. (((
34 -Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
35 -
36 -{{formula}}
37 -d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
38 -{{/formula}}
39 -
40 -Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
54 +Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
41 41  )))
42 42  1. (((
43 43  Untersuche die Gleichheitsfälle:
... ... @@ -48,18 +48,14 @@
48 48  Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
49 49  )))
50 50  1. (((
51 -Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
52 -
53 -Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
65 +Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
54 54  )))
55 55  1. (((
56 -Formuliere eine allgemeine Aussage:
68 +Erläutere folgende Aussage geometrisch:
57 57  
58 58  {{formula}}
59 59  M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
60 60  {{/formula}}
61 -
62 -Erläutere diese Aussage geometrisch.
63 63  )))
64 64  {{/aufgabe}}
65 65  
... ... @@ -66,25 +66,17 @@
66 66  {{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
67 67  Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
68 68  
69 -Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
70 -Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
71 -{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
72 -beschrieben.
73 -Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
79 +Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
74 74  
75 75  (%class=abc%)
76 76  1. (((
77 -Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
78 -Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
79 -
80 -Markiere in deiner Skizze:
83 +Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
81 81  * die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
82 82  * den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
83 83  * eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
84 84  )))
85 85  1. (((
86 -Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
87 -Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
89 +Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
88 88  )))
89 89  1. (((
90 90  Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
... ... @@ -96,8 +96,7 @@
96 96  1. (((
97 97  Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
98 98  
99 -Überprüfe anhand deiner Ergebnisse die Vermutung aus der Strukturaufgabe und erläutere kurz, wie sich die Lage der Mengen {{formula}}\{A\}{{/formula}}, {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} auf die Abstände auswirkt.
100 -)))
101 +Erläutere anhand deiner Ergebnisse, warum die Drohne der Landefläche näher ist als der Begrenzungslinie und dem Punkt A.)))
101 101  1. (((
102 102  Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
103 103  
... ... @@ -105,101 +105,20 @@
105 105  )))
106 106  {{/aufgabe}}
107 107  
108 -{{aufgabe id="Abstandsprobleme Punkt Gerade Ebene" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="18"}}
109 -Gegeben seien ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}, ein Punkt {{formula}}A{{/formula}}, eine Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}A\in g{{/formula}} und eine Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit {{formula}}g\subset E{{/formula}}. Der Punkt {{formula}}P{{/formula}} liege nicht in der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
110 -
111 -Betrachtet werden die Abstände
112 -
113 -{{formula}}
114 -d(P;A),\quad d(P;g),\quad d(P;E).
115 -{{/formula}}
116 -
117 -(%class=abc%)
118 -1. (((
119 -Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
120 -)))
121 -1. (((
122 -Beschreibe die drei Abstände jeweils als Minimierungsproblem der Form
123 -
124 -{{formula}}
125 -d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X\in M\,\}.
126 -{{/formula}}
127 -
128 -Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
129 -)))
130 -1. (((
131 -Beschreibe für {{formula}}d(P;g){{/formula}} und {{formula}}d(P;E){{/formula}} jeweils den Punkt, der den Abstand realisiert.
132 -
133 -Formuliere die zugehörige Orthogonalitätsbedingung.
134 -)))
135 -1. (((
136 -Erläutere allgemein:
137 -
138 -{{formula}}
139 -M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
140 -{{/formula}}
141 -
142 -Beziehe diese Aussage auf die drei gegebenen Abstände.
143 -)))
144 -{{/aufgabe}}
145 -
146 146  {{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
147 -Gegeben seien zwei windschiefe Geraden
110 +**Hinweis:** //Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In den vorherigen Aufgaben wurden Abstände auf Punkt–Gerade–Ebene zurückgeführt. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.//
148 148  
149 -{{formula}}
150 -g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1
151 -{{/formula}}
112 +Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
152 152  
153 -und
154 -
155 -{{formula}}
156 -g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2.
157 -{{/formula}}
158 -
159 -Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.
160 -
161 161  (%class=abc%)
162 -1. (((
163 -Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
164 -
165 -Zeige, dass die Ebene
166 -
167 -{{formula}}
168 -E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2
169 -{{/formula}}
170 -
171 -die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
115 +1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist. Zeige, dass die Ebene {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}} die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
172 172  )))
173 -1. (((
174 -Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
117 +1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
175 175  )))
176 -1. (((
177 -Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
178 -
179 -{{formula}}
180 -d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
181 -{{/formula}}
119 +1. (((Erkläre geometrisch, weshalb {{formula}}d(g_1;g_2)=d(g_2;E){{/formula}} gilt.
182 182  )))
183 -1. (((
184 -Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
185 -
186 -{{formula}}
187 -d(g_2;E)=d(P_2;E).
188 -{{/formula}}
121 +1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann: {{formula}}d(g_2;E)=d(P_2;E){{/formula}}.
189 189  )))
190 -1. (((
191 -Fasse die Rückführung zusammen:
192 -
193 -{{formula}}
194 -d(g_1;g_2)=d(P_2;E)
195 -{{/formula}}
196 -
197 -mit
198 -
199 -{{formula}}
200 -E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2.
201 -{{/formula}}
202 -
203 -Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
123 +1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
204 204  )))
205 205  {{/aufgabe}}