Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

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Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-XWiki.martinrathgeb
	1	+XWiki.martinawagner

Inhalt

...	...	@@ -1,168 +1,7 @@
1	1	{{seiteninhalt/}}
2	2
3	3	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
4		-[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
	4	+[[Kompetenzen.K5]]; [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
5	5
6		-{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7		-Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
8		-{{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
9		-(%class=abc%)
10		-1. Bestimme den Abstand //d//, den //Q// von //P// hat.
11		-1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
12		-1. Interpretiere den Abstand als Länge eines Verbindungsvektors.
13		-{{/aufgabe}}
14	14
15		-{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
16		-Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
17	17
18		-{{formula}}
19		-d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
20		-{{/formula}}
21		-
22		-(%class=abc%)
23		-1. (((
24		-Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
25		-
26		-Zeige dazu:
27		-
28		-{{formula}}
29		-\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
30		-{{/formula}}
31		-
32		-und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
33		-)))
34		-1. (((
35		-Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
36		-
37		-{{formula}}
38		-d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
39		-{{/formula}}
40		-
41		-Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
42		-)))
43		-1. (((
44		-Untersuche die Gleichheitsfälle:
45		-
46		-* Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
47		-* Wann gilt {{formula}}d(P;g(A;B))=d(P;E(A;B;C)){{/formula}}?
48		-
49		-Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
50		-)))
51		-1. (((
52		-Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
53		-
54		-Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
55		-)))
56		-1. (((
57		-Formuliere eine allgemeine Aussage:
58		-
59		-{{formula}}
60		-M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
61		-{{/formula}}
62		-
63		-Erläutere diese Aussage geometrisch.
64		-)))
65		-{{/aufgabe}}
66		-
67		-{{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
68		-Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
69		-
70		-Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
71		-Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
72		-{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
73		-beschrieben.
74		-Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
75		-
76		-(%class=abc%)
77		-1. (((
78		-Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
79		-Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
80		-
81		-Markiere in deiner Skizze:
82		-* die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
83		-* den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
84		-* eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
85		-)))
86		-1. (((
87		-Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
88		-Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
89		-)))
90		-1. (((
91		-Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
92		-Berechne dazu einen geeigneten Punkt {{formula}}F_g \in g{{/formula}}, der den Abstand realisiert.
93		-)))
94		-1. (((
95		-Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt {{formula}}A{{/formula}}.
96		-)))
97		-1. (((
98		-Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
99		-
100		-Überprüfe anhand deiner Ergebnisse die Vermutung aus der Strukturaufgabe und erläutere kurz, wie sich die Lage der Mengen {{formula}}\{A\}{{/formula}}, {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} auf die Abstände auswirkt.
101		-)))
102		-1. (((
103		-Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
104		-
105		-Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.
106		-)))
107		-{{/aufgabe}}
108		-
109		-{{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
110		-Gegeben seien zwei windschiefe Geraden
111		-
112		-{{formula}}
113		-g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1
114		-{{/formula}}
115		-
116		-und
117		-
118		-{{formula}}
119		-g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2.
120		-{{/formula}}
121		-
122		-Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.
123		-
124		-(%class=abc%)
125		-1. (((
126		-Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
127		-
128		-Zeige, dass die Ebene
129		-
130		-{{formula}}
131		-E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2
132		-{{/formula}}
133		-
134		-die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
135		-)))
136		-1. (((
137		-Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
138		-)))
139		-1. (((
140		-Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
141		-
142		-{{formula}}
143		-d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
144		-{{/formula}}
145		-)))
146		-1. (((
147		-Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
148		-
149		-{{formula}}
150		-d(g_2;E)=d(P_2;E).
151		-{{/formula}}
152		-)))
153		-1. (((
154		-Fasse die Rückführung zusammen:
155		-
156		-{{formula}}
157		-d(g_1;g_2)=d(P_2;E)
158		-{{/formula}}
159		-
160		-mit
161		-
162		-{{formula}}
163		-E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2.
164		-{{/formula}}
165		-
166		-Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
167		-)))
168		-{{/aufgabe}}