Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -4,11 +4,10 @@
4	4	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
5	5
6	6	{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7		-Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
8		-{{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
	7	+Gegeben sind zwei Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
9	9	(%class=abc%)
10		-1. Bestimme den Abstand //d(P;Q)// zwischen //Q// und //P//.
11		-1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
	9	+1. Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}} zwischen den Punkten {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}Q{{/formula}}.
	10	+1. Gib einen Punkt {{formula}}R{{/formula}} an, der von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} hat.
12	12	1. Interpretiere den Abstand als Länge eines Verbindungsvektors.
13	13	{{/aufgabe}}
14	14
...	...	@@ -21,24 +21,10 @@
21	21
22	22	(%class=abc%)
23	23	1. (((
24		-Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
25		-
26		-Zeige dazu:
27		-
28		-{{formula}}
29		-\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
30		-{{/formula}}
31		-
32		-und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
	23	+Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
33	33	)))
34	34	1. (((
35		-Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
36		-
37		-{{formula}}
38		-d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
39		-{{/formula}}
40		-
41		-Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
	26	+Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
42	42	)))
43	43	1. (((
44	44	Untersuche die Gleichheitsfälle:
...	...	@@ -49,18 +49,14 @@
49	49	Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
50	50	)))
51	51	1. (((
52		-Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
53		-
54		-Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
	37	+Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
55	55	)))
56	56	1. (((
57		-Formuliere eine allgemeine Aussage:
	40	+Erläutere folgende Aussage geometrisch:
58	58
59	59	{{formula}}
60	60	M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
61	61	{{/formula}}
62		-
63		-Erläutere diese Aussage geometrisch.
64	64	)))
65	65	{{/aufgabe}}
66	66
...	...	@@ -67,25 +67,17 @@
67	67	{{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
68	68	Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
69	69
70		-Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
71		-Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
72		-{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
73		-beschrieben.
74		-Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
	51	+Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
75	75
76	76	(%class=abc%)
77	77	1. (((
78		-Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
79		-Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
80		-
81		-Markiere in deiner Skizze:
	55	+Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
82	82	* die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
83	83	* den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
84	84	* eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
85	85	)))
86	86	1. (((
87		-Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
88		-Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
	61	+Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
89	89	)))
90	90	1. (((
91	91	Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
...	...	@@ -106,52 +106,23 @@
106	106	{{/aufgabe}}
107	107
108	108	{{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
109		-**Anmerkung:** //Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In den vorherigen Aufgaben wurden Abstände auf Punkt–Gerade–Ebene zurückgeführt. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.//
	82	+**Hinweis:** //Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In den vorherigen Aufgaben wurden Abstände auf Punkt–Gerade–Ebene zurückgeführt. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.//
110	110
111	111	Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
112	112
113	113	(%class=abc%)
114		-1. (((
115		-Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
116		-
117		-Zeige, dass die Ebene
118		-
119		-{{formula}}
120		-E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2
121		-{{/formula}}
122		-
123		-die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
	87	+1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist. Zeige, dass die Ebene {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}} die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
124	124	)))
125		-1. (((
126		-Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
	89	+1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
127	127	)))
128		-1. (((
129		-Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
130		-
131		-{{formula}}
132		-d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
133		-{{/formula}}
	91	+1. (((Erkläre geometrisch, weshalb {{formula}}d(g_1;g_2)=d(g_2;E){{/formula}} gilt.
134	134	)))
135		-1. (((
136		-Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
	93	+1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
137	137
138	138	{{formula}}
139	139	d(g_2;E)=d(P_2;E).
140	140	{{/formula}}
141	141	)))
142		-1. (((
143		-Fasse die Rückführung zusammen:
144		-
145		-{{formula}}
146		-d(g_1;g_2)=d(P_2;E)
147		-{{/formula}}
148		-
149		-mit
150		-
151		-{{formula}}
152		-E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2.
153		-{{/formula}}
154		-
155		-Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
	99	+1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
156	156	)))
157	157	{{/aufgabe}}