Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

Zusammenfassung

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,15 +1,23 @@
1	1	{{seiteninhalt/}}
2	2
3		-[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
	3	+[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen. {{niveau}}g{{/niveau}}
	4	+[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen. {{niveau}}e{{/niveau}}
4	4	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
5	5
6		-{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7		-Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
8		-{{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
	7	+{{aufgabe id="Abstand Punkt Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb" niveau=g zeit="9"}}
	8	+Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
	9	+
9	9	(%class=abc%)
10		-1. Bestimme den Abstand //d(P;Q)// zwischen //Q// und //P//.
11		-1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
12		-1. Interpretiere den Abstand als Länge eines Verbindungsvektors.
	11	+1. (((Zeichne die Punkte und ihren Verbindungsvektor in ein Koordinatensystem ein.
	12	+)))
	13	+1. (((Berechne den Verbindungsvektor {{formula}}\vec{PQ}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
	14	+)))
	15	+1. (((Ein Mitschüler behauptet:
	16	+
	17	+„Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
	18	+
	19	+Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie notfalls. Untersuche dazu den Fall {{formula}}r=-2{{/formula}}: Bestimme {{formula}}K{{/formula}}, den Vektor {{formula}}\overrightarrow{PK}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;K){{/formula}}.
	20	+)))
13	13	{{/aufgabe}}
14	14
15	15	{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
...	...	@@ -21,18 +21,10 @@
21	21
22	22	(%class=abc%)
23	23	1. (((
24		-Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
25		-
26		-Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
	32	+Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
27	27	)))
28	28	1. (((
29		-Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
30		-
31		-{{formula}}
32		-d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
33		-{{/formula}}
34		-
35		-Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
	35	+Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
36	36	)))
37	37	1. (((
38	38	Untersuche die Gleichheitsfälle:
...	...	@@ -43,18 +43,14 @@
43	43	Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
44	44	)))
45	45	1. (((
46		-Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
47		-
48		-Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
	46	+Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
49	49	)))
50	50	1. (((
51		-Formuliere eine allgemeine Aussage:
	49	+Erläutere folgende Aussage geometrisch:
52	52
53	53	{{formula}}
54	54	M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
55	55	{{/formula}}
56		-
57		-Erläutere diese Aussage geometrisch.
58	58	)))
59	59	{{/aufgabe}}
60	60
...	...	@@ -61,25 +61,17 @@
61	61	{{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
62	62	Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
63	63
64		-Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
65		-Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
66		-{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
67		-beschrieben.
68		-Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
	60	+Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
69	69
70	70	(%class=abc%)
71	71	1. (((
72		-Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
73		-Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
74		-
75		-Markiere in deiner Skizze:
	64	+Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
76	76	* die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
77	77	* den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
78	78	* eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
79	79	)))
80	80	1. (((
81		-Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
82		-Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
	70	+Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
83	83	)))
84	84	1. (((
85	85	Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
...	...	@@ -105,42 +105,14 @@
105	105	Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
106	106
107	107	(%class=abc%)
108		-1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
109		-
110		-Zeige, dass die Ebene
111		-
112		-{{formula}}
113		-E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2
114		-{{/formula}}
115		-
116		-die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
	96	+1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist. Zeige, dass die Ebene {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}} die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
117	117	)))
118	118	1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
119	119	)))
120		-1. (((Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
121		-
122		-{{formula}}
123		-d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
124		-{{/formula}}
	100	+1. (((Erkläre geometrisch, weshalb {{formula}}d(g_1;g_2)=d(g_2;E){{/formula}} gilt.
125	125	)))
126		-1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
127		-
128		-{{formula}}
129		-d(g_2;E)=d(P_2;E).
130		-{{/formula}}
	102	+1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann: {{formula}}d(g_2;E)=d(P_2;E){{/formula}}.
131	131	)))
132		-1. (((Fasse die Rückführung zusammen:
133		-
134		-{{formula}}
135		-d(g_1;g_2)=d(P_2;E)
136		-{{/formula}}
137		-
138		-mit
139		-
140		-{{formula}}
141		-E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2.
142		-{{/formula}}
143		-
144		-Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
	104	+1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
145	145	)))
146	146	{{/aufgabe}}