Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -4,11 +4,11 @@
4	4	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
5	5
6	6	{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7		-Gegeben sind zwei Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
	7	+Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
	8	+{{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
8	8	(%class=abc%)
9		-1. Bestimme den Abstand //d(P;Q)// zwischen //Q// und //P//.
	10	+1. Bestimme den Abstand //d//, den //Q// von //P// hat.
10	10	1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
11		-1. Interpretiere den Abstand als Länge eines Verbindungsvektors.
12	12	{{/aufgabe}}
13	13
14	14	{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
...	...	@@ -22,7 +22,13 @@
22	22	1. (((
23	23	Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
24	24
25		-Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
	25	+Zeige dazu:
	26	+
	27	+{{formula}}
	28	+\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
	29	+{{/formula}}
	30	+
	31	+und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
26	26	)))
27	27	1. (((
28	28	Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
...	...	@@ -90,7 +90,8 @@
90	90	1. (((
91	91	Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
92	92
93		-Erläutere anhand deiner Ergebnisse, warum die Drohne der Landefläche näher ist als der Begrenzungslinie und dem Punkt A.)))
	99	+Überprüfe anhand deiner Ergebnisse die Vermutung aus der Strukturaufgabe und erläutere kurz, wie sich die Lage der Mengen {{formula}}\{A\}{{/formula}}, {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} auf die Abstände auswirkt.
	100	+)))
94	94	1. (((
95	95	Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
96	96
...	...	@@ -98,13 +98,62 @@
98	98	)))
99	99	{{/aufgabe}}
100	100
	108	+{{aufgabe id="Abstandsprobleme Punkt Gerade Ebene" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="18"}}
	109	+Gegeben seien ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}, ein Punkt {{formula}}A{{/formula}}, eine Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}A\in g{{/formula}} und eine Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit {{formula}}g\subset E{{/formula}}. Der Punkt {{formula}}P{{/formula}} liege nicht in der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
	110	+
	111	+Betrachtet werden die Abstände
	112	+
	113	+{{formula}}
	114	+d(P;A),\quad d(P;g),\quad d(P;E).
	115	+{{/formula}}
	116	+
	117	+(%class=abc%)
	118	+1. (((
	119	+Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
	120	+)))
	121	+1. (((
	122	+Beschreibe die drei Abstände jeweils als Minimierungsproblem der Form
	123	+
	124	+{{formula}}
	125	+d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X\in M\,\}.
	126	+{{/formula}}
	127	+
	128	+Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
	129	+)))
	130	+1. (((
	131	+Beschreibe für {{formula}}d(P;g){{/formula}} und {{formula}}d(P;E){{/formula}} jeweils den Punkt, der den Abstand realisiert.
	132	+
	133	+Formuliere die zugehörige Orthogonalitätsbedingung.
	134	+)))
	135	+1. (((
	136	+Erläutere allgemein:
	137	+
	138	+{{formula}}
	139	+M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
	140	+{{/formula}}
	141	+
	142	+Beziehe diese Aussage auf die drei gegebenen Abstände.
	143	+)))
	144	+{{/aufgabe}}
	145	+
101	101	{{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
102		-**Hinweis:** //Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In den vorherigen Aufgaben wurden Abstände auf Punkt–Gerade–Ebene zurückgeführt. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.//
	147	+Gegeben seien zwei windschiefe Geraden
103	103
104		-Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
	149	+{{formula}}
	150	+g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1
	151	+{{/formula}}
105	105
	153	+und
	154	+
	155	+{{formula}}
	156	+g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2.
	157	+{{/formula}}
	158	+
	159	+Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.
	160	+
106	106	(%class=abc%)
107		-1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
	162	+1. (((
	163	+Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
108	108
109	109	Zeige, dass die Ebene
110	110
...	...	@@ -114,21 +114,25 @@
114	114
115	115	die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
116	116	)))
117		-1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
	173	+1. (((
	174	+Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
118	118	)))
119		-1. (((Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
	176	+1. (((
	177	+Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
120	120
121	121	{{formula}}
122	122	d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
123	123	{{/formula}}
124	124	)))
125		-1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
	183	+1. (((
	184	+Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
126	126
127	127	{{formula}}
128	128	d(g_2;E)=d(P_2;E).
129	129	{{/formula}}
130	130	)))
131		-1. (((Fasse die Rückführung zusammen:
	190	+1. (((
	191	+Fasse die Rückführung zusammen:
132	132
133	133	{{formula}}
134	134	d(g_1;g_2)=d(P_2;E)