Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -4,11 +4,11 @@
4	4	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
5	5
6	6	{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7		-Gegeben sind zwei Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
	7	+Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
	8	+{{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
8	8	(%class=abc%)
9		-1. Bestimme den Abstand //d(P;Q)// zwischen //Q// und //P//.
10		-1. Gib einen Punkt //R// an, der ebenfalls den Abstand //d// zu //P// hat.
11		-1. Interpretiere den Abstand als Länge eines Verbindungsvektors.
	10	+1. Bestimme den Abstand //d//, den //Q// von //P// hat.
	11	+1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
12	12	{{/aufgabe}}
13	13
14	14	{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
...	...	@@ -22,11 +22,21 @@
22	22	1. (((
23	23	Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
24	24
25		-Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
	25	+Zeige dazu:
	26	+
	27	+{{formula}}
	28	+\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
	29	+{{/formula}}
	30	+
	31	+und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
26	26	)))
27	27	1. (((
28		-Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}.
	34	+Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
29	29
	36	+{{formula}}
	37	+d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
	38	+{{/formula}}
	39	+
30	30	Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
31	31	)))
32	32	1. (((
...	...	@@ -43,11 +43,13 @@
43	43	Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
44	44	)))
45	45	1. (((
46		-Erläutere folgende Aussage geometrisch:
	56	+Formuliere eine allgemeine Aussage:
47	47
48	48	{{formula}}
49	49	M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
50	50	{{/formula}}
	61	+
	62	+Erläutere diese Aussage geometrisch.
51	51	)))
52	52	{{/aufgabe}}
53	53
...	...	@@ -84,7 +84,8 @@
84	84	1. (((
85	85	Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
86	86
87		-Erläutere anhand deiner Ergebnisse, warum die Drohne der Landefläche näher ist als der Begrenzungslinie und dem Punkt A.)))
	99	+Überprüfe anhand deiner Ergebnisse die Vermutung aus der Strukturaufgabe und erläutere kurz, wie sich die Lage der Mengen {{formula}}\{A\}{{/formula}}, {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} auf die Abstände auswirkt.
	100	+)))
88	88	1. (((
89	89	Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
90	90
...	...	@@ -92,13 +92,62 @@
92	92	)))
93	93	{{/aufgabe}}
94	94
	108	+{{aufgabe id="Abstandsprobleme Punkt Gerade Ebene" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="18"}}
	109	+Gegeben seien ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}, ein Punkt {{formula}}A{{/formula}}, eine Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}A\in g{{/formula}} und eine Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit {{formula}}g\subset E{{/formula}}. Der Punkt {{formula}}P{{/formula}} liege nicht in der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
	110	+
	111	+Betrachtet werden die Abstände
	112	+
	113	+{{formula}}
	114	+d(P;A),\quad d(P;g),\quad d(P;E).
	115	+{{/formula}}
	116	+
	117	+(%class=abc%)
	118	+1. (((
	119	+Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
	120	+)))
	121	+1. (((
	122	+Beschreibe die drei Abstände jeweils als Minimierungsproblem der Form
	123	+
	124	+{{formula}}
	125	+d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X\in M\,\}.
	126	+{{/formula}}
	127	+
	128	+Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
	129	+)))
	130	+1. (((
	131	+Beschreibe für {{formula}}d(P;g){{/formula}} und {{formula}}d(P;E){{/formula}} jeweils den Punkt, der den Abstand realisiert.
	132	+
	133	+Formuliere die zugehörige Orthogonalitätsbedingung.
	134	+)))
	135	+1. (((
	136	+Erläutere allgemein:
	137	+
	138	+{{formula}}
	139	+M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
	140	+{{/formula}}
	141	+
	142	+Beziehe diese Aussage auf die drei gegebenen Abstände.
	143	+)))
	144	+{{/aufgabe}}
	145	+
95	95	{{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
96		-**Hinweis:** //Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In den vorherigen Aufgaben wurden Abstände auf Punkt–Gerade–Ebene zurückgeführt. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.//
	147	+Gegeben seien zwei windschiefe Geraden
97	97
98		-Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
	149	+{{formula}}
	150	+g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1
	151	+{{/formula}}
99	99
	153	+und
	154	+
	155	+{{formula}}
	156	+g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2.
	157	+{{/formula}}
	158	+
	159	+Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.
	160	+
100	100	(%class=abc%)
101		-1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
	162	+1. (((
	163	+Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
102	102
103	103	Zeige, dass die Ebene
104	104
...	...	@@ -108,21 +108,25 @@
108	108
109	109	die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
110	110	)))
111		-1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
	173	+1. (((
	174	+Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
112	112	)))
113		-1. (((Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
	176	+1. (((
	177	+Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
114	114
115	115	{{formula}}
116	116	d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
117	117	{{/formula}}
118	118	)))
119		-1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
	183	+1. (((
	184	+Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
120	120
121	121	{{formula}}
122	122	d(g_2;E)=d(P_2;E).
123	123	{{/formula}}
124	124	)))
125		-1. (((Fasse die Rückführung zusammen:
	190	+1. (((
	191	+Fasse die Rückführung zusammen:
126	126
127	127	{{formula}}
128	128	d(g_1;g_2)=d(P_2;E)