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Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,16 +1,93 @@
1 1  {{seiteninhalt/}}
2 2  
3 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
3 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen. {{niveau}}g{{/niveau}}
4 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen. {{niveau}}e{{/niveau}}
4 4  [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
5 5  
6 -{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7 -Gegeben sind zwei Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
7 +{{aufgabe id="Abstand Punkt Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb" niveau=g zeit="10"}}
8 +Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
9 +
8 8  (%class=abc%)
9 -1. Bestimme den Abstand //d(P;Q)// zwischen //Q// und //P//.
10 -1. Gib einen Punkt //R// an, der ebenfalls den Abstand //d// zu //P// hat.
11 -1. Interpretiere den Abstand als Länge eines Verbindungsvektors.
11 +1. (((
12 +Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
13 +)))
14 +1. (((
15 +Zeichne die Punkte {{formula}}P{{/formula}}, {{formula}}Q{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}.
16 +
17 +Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
18 +)))
19 +1. (((
20 +Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist wie {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
21 +)))
22 +1. (((
23 +Ein Mitschüler behauptet: „Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
24 +
25 +Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie gegebenenfalls. Untersuche dazu den Fall {{formula}}r=-2{{/formula}}: Bestimme {{formula}}K{{/formula}}, den Vektor {{formula}}\overrightarrow{PK}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;K){{/formula}}.
26 +)))
12 12  {{/aufgabe}}
13 13  
29 +{{aufgabe id="Abstand Punkt Koordinatenebene" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=g zeit="8"}}
30 +Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|4){{/formula}} und die Koordinatenebene
31 +
32 +{{formula}}Z:\ z=0.{{/formula}}
33 +
34 +(%class=abc%)
35 +1. (((
36 +Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Z){{/formula}}.
37 +)))
38 +1. (((
39 +Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
40 +
41 +Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
42 +)))
43 +1. (((
44 +Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}Z{{/formula}} doppelt so groß ist.
45 +)))
46 +{{/aufgabe}}
47 +
48 +{{aufgabe id="Lotfußpunkt auf Gerade vorbereiten" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=g zeit="10"}}
49 +Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
50 +
51 +{{formula}}
52 +g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
53 +{{/formula}}
54 +
55 +(%class=abc%)
56 +1. (((
57 +Gib einen allgemeinen Punkt {{formula}}G_r{{/formula}} der Geraden {{formula}}g{{/formula}} in Koordinaten an.
58 +)))
59 +1. (((
60 +Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PG_r}{{/formula}}.
61 +)))
62 +1. (((
63 +Berechne den Wert von {{formula}}r{{/formula}}, für den der Vektor {{formula}}\overrightarrow{PG_r}{{/formula}} senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden {{formula}}g{{/formula}} steht.
64 +
65 +Erläutere, weshalb für dasjenige {{formula}}G_r{{/formula}} gilt:
66 +{{formula}}d(P;G_r)=d(P;g){{/formula}}.
67 +)))
68 +{{/aufgabe}}
69 +
70 +{{aufgabe id="Abstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=g zeit="10"}}
71 +Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
72 +
73 +{{formula}}
74 +g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
75 +{{/formula}}
76 +
77 +(%class=abc%)
78 +1. (((
79 +Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;g){{/formula}}.
80 +)))
81 +1. (((
82 +Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}}, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
83 +
84 +Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
85 +)))
86 +1. (((
87 +Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}g{{/formula}} doppelt so groß ist.
88 +)))
89 +{{/aufgabe}}
90 +
14 14  {{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
15 15  Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
16 16  
... ... @@ -20,14 +20,10 @@
20 20  
21 21  (%class=abc%)
22 22  1. (((
23 -Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
24 -
25 -Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
100 +Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
26 26  )))
27 27  1. (((
28 -Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}.
29 -
30 -Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
103 +Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
31 31  )))
32 32  1. (((
33 33  Untersuche die Gleichheitsfälle:
... ... @@ -38,9 +38,7 @@
38 38  Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
39 39  )))
40 40  1. (((
41 -Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
42 -
43 -Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
114 +Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
44 44  )))
45 45  1. (((
46 46  Erläutere folgende Aussage geometrisch:
... ... @@ -54,25 +54,17 @@
54 54  {{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
55 55  Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
56 56  
57 -Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
58 -Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
59 -{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
60 -beschrieben.
61 -Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
128 +Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
62 62  
63 63  (%class=abc%)
64 64  1. (((
65 -Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
66 -Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
67 -
68 -Markiere in deiner Skizze:
132 +Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
69 69  * die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
70 70  * den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
71 71  * eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
72 72  )))
73 73  1. (((
74 -Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
75 -Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
138 +Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
76 76  )))
77 77  1. (((
78 78  Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
... ... @@ -98,42 +98,30 @@
98 98  Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
99 99  
100 100  (%class=abc%)
101 -1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
102 -
103 -Zeige, dass die Ebene
104 -
105 -{{formula}}
106 -E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2
107 -{{/formula}}
108 -
109 -die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
164 +1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist. Zeige, dass die Ebene {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}} die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
110 110  )))
111 111  1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
112 112  )))
113 -1. (((Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
114 -
115 -{{formula}}
116 -d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
117 -{{/formula}}
168 +1. (((Erkläre geometrisch, weshalb {{formula}}d(g_1;g_2)=d(g_2;E){{/formula}} gilt.
118 118  )))
119 -1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
120 -
121 -{{formula}}
122 -d(g_2;E)=d(P_2;E).
123 -{{/formula}}
170 +1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann: {{formula}}d(g_2;E)=d(P_2;E){{/formula}}.
124 124  )))
125 -1. (((Fasse die Rückführung zusammen:
172 +1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
173 +)))
174 +{{/aufgabe}}
126 126  
127 -{{formula}}
128 -d(g_1;g_2)=d(P_2;E)
129 -{{/formula}}
176 +{{aufgabe id="Sonnenegel" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Baden Württemberg: berufliche Gymnasium, Abitur 2023 Teil 4 Vektorgeometrie" niveau=e zeit="25"}}
177 +Die Punkte {{formula}}A(2|2|4){{/formula}}, {{formula}}B(3|2|2){{/formula}} und {{formula}}C(4|5|3){{/formula}} sind die Eckpunkte eines über dem Boden ({{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene) aufgespannten ebenen Sonnensegels.
178 +Zur Befestigung dient unter anderem ein Pfosten, der sich durch die Strecke {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 4,5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}; 0 \le t \le 1{{/formula}}, beschreiben lässt.
179 +Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
180 +(%class=abc%)
130 130  
131 -mit
132 -
133 -{{formula}}
134 -E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2.
135 -{{/formula}}
136 -
137 -Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
182 +1. (((Geben Sie die Länge des Pfosten an.
183 +)))
184 +1. (((Zeigen Sie, dass das Sonnensegel in der Ebene mit der Gleichung {{formula}}2x_1-x_2+x_3=6{{/formula}} liegt.
185 +Bestimmen Sie den Abstand des Sonnensegels zum Boden.
138 138  )))
187 +1. (((Der Punkt C ist mit einem Seil an dem Pfosten befestigt. Beurteilen Sie, ob ein Seil der Länge 1,85 m dafür ausreichend ist.
188 +)))
139 139  {{/aufgabe}}
190 +