Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -4,11 +4,11 @@
4	4	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
5	5
6	6	{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7		-Gegeben sind zwei Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
	7	+Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
	8	+{{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
8	8	(%class=abc%)
9		-1. Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}} zwischen den Punkten {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}Q{{/formula}}.
10		-1. Gib einen Punkt {{formula}}R{{/formula}} an, der von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} hat.
11		-1. Interpretiere den Abstand als Länge eines Verbindungsvektors.
	10	+1. Bestimme den Abstand //d//, den //Q// von //P// hat.
	11	+1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
12	12	{{/aufgabe}}
13	13
14	14	{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
...	...	@@ -20,10 +20,24 @@
20	20
21	21	(%class=abc%)
22	22	1. (((
23		-Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
	23	+Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
	24	+
	25	+Zeige dazu:
	26	+
	27	+{{formula}}
	28	+\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
	29	+{{/formula}}
	30	+
	31	+und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
24	24	)))
25	25	1. (((
26		-Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
	34	+Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
	35	+
	36	+{{formula}}
	37	+d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
	38	+{{/formula}}
	39	+
	40	+Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
27	27	)))
28	28	1. (((
29	29	Untersuche die Gleichheitsfälle:
...	...	@@ -34,14 +34,18 @@
34	34	Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
35	35	)))
36	36	1. (((
37		-Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
	51	+Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
	52	+
	53	+Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
38	38	)))
39	39	1. (((
40		-Erläutere folgende Aussage geometrisch:
	56	+Formuliere eine allgemeine Aussage:
41	41
42	42	{{formula}}
43	43	M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
44	44	{{/formula}}
	61	+
	62	+Erläutere diese Aussage geometrisch.
45	45	)))
46	46	{{/aufgabe}}
47	47
...	...	@@ -48,17 +48,25 @@
48	48	{{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
49	49	Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
50	50
51		-Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
	69	+Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
	70	+Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
	71	+{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
	72	+beschrieben.
	73	+Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
52	52
53	53	(%class=abc%)
54	54	1. (((
55		-Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
	77	+Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
	78	+Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
	79	+
	80	+Markiere in deiner Skizze:
56	56	* die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
57	57	* den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
58	58	* eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
59	59	)))
60	60	1. (((
61		-Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
	86	+Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
	87	+Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
62	62	)))
63	63	1. (((
64	64	Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
...	...	@@ -70,7 +70,8 @@
70	70	1. (((
71	71	Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
72	72
73		-Erläutere anhand deiner Ergebnisse, warum die Drohne der Landefläche näher ist als der Begrenzungslinie und dem Punkt A.)))
	99	+Überprüfe anhand deiner Ergebnisse die Vermutung aus der Strukturaufgabe und erläutere kurz, wie sich die Lage der Mengen {{formula}}\{A\}{{/formula}}, {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} auf die Abstände auswirkt.
	100	+)))
74	74	1. (((
75	75	Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
76	76
...	...	@@ -78,20 +78,68 @@
78	78	)))
79	79	{{/aufgabe}}
80	80
81		-{{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
82		-**Hinweis:** //Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In den vorherigen Aufgaben wurden Abstände auf Punkt–Gerade–Ebene zurückgeführt. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.//
	108	+{{aufgabe id="Abstandsprobleme zurückführen" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="18"}}
	109	+Gegeben seien zwei Geraden
83	83
84		-Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
	111	+{{formula}}
	112	+g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1
	113	+{{/formula}}
85	85
	115	+und
	116	+
	117	+{{formula}}
	118	+g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2.
	119	+{{/formula}}
	120	+
	121	+Die Geraden seien windschief, insbesondere gilt {{formula}}\vec{u}_1{{/formula}} ist kein Vielfaches von {{formula}}\vec{u}_2{{/formula}}.
	122	+
86	86	(%class=abc%)
87		-1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist. Zeige, dass die Ebene {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}} die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
	124	+1. (((
	125	+Beschreibe, weshalb der Abstand zweier windschiefer Geraden ein neues Abstandsproblem darstellt.
	126	+
	127	+Vergleiche dazu mit den bereits bekannten Abstandsproblemen:
	128	+* Punkt – Punkt
	129	+* Punkt – Gerade
	130	+* Punkt – Ebene
88	88	)))
89		-1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
	132	+1. (((
	133	+Konstruiere eine Ebene {{formula}}E{{/formula}}, die die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zur Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
	134	+
	135	+Gib diese Ebene in Parameterform an.
90	90	)))
91		-1. (((Erkläre geometrisch, weshalb {{formula}}d(g_1;g_2)=d(g_2;E){{/formula}} gilt.
	137	+1. (((
	138	+Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
92	92	)))
93		-1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann: {{formula}}d(g_2;E)=d(P_2;E){{/formula}}.
	140	+1. (((
	141	+Begründe die Rückführung
	142	+
	143	+{{formula}}
	144	+d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
	145	+{{/formula}}
	146	+
	147	+Erläutere geometrisch, warum sich der Abstand dabei nicht verändert.
94	94	)))
95		-1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
	149	+1. (((
	150	+Begründe anschließend die Rückführung
	151	+
	152	+{{formula}}
	153	+d(g_2;E)=d(P_2;E).
	154	+{{/formula}}
	155	+
	156	+Erkläre, warum ein beliebiger Punkt {{formula}}P_2{{/formula}} der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} genügt.
96	96	)))
	158	+1. (((
	159	+Formuliere die vollständige Rückführung:
	160	+
	161	+{{formula}}
	162	+d(g_1;g_2)=d(P_2;E(P_1;\vec{u}_1;\vec{u}_2)).
	163	+{{/formula}}
	164	+
	165	+Beschreibe in eigenen Worten die verwendete Problemlösestrategie.
	166	+)))
	167	+1. (((
	168	+Bestimme einen Normalenvektor der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
	169	+
	170	+Erkläre, wie sich der Abstand der windschiefen Geraden dadurch als Punkt-Ebene-Abstand berechnen lässt.
	171	+)))
97	97	{{/aufgabe}}