Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -4,14 +4,85 @@
4	4	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen. {{niveau}}e{{/niveau}}
5	5	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
6	6
7		-{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
8		-Gegeben sind zwei Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
	7	+{{aufgabe id="Abstand Punkt Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb" niveau=g zeit="10"}}
	8	+Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
	9	+
9	9	(%class=abc%)
10		-1. Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}} zwischen den Punkten {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}Q{{/formula}}.
11		-1. Gib einen Punkt {{formula}}R{{/formula}} an, der von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} hat.
12		-1. Interpretiere den Abstand als Länge eines Verbindungsvektors.
	11	+1. (((
	12	+Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
	13	+)))
	14	+1. (((
	15	+Zeichne die Punkte {{formula}}P{{/formula}}, {{formula}}Q{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}.
	16	+
	17	+Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
	18	+)))
	19	+1. (((
	20	+Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist wie {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
	21	+)))
	22	+1. (((
	23	+Ein Mitschüler behauptet: „Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
	24	+
	25	+Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie gegebenenfalls. Untersuche dazu den Fall {{formula}}r=-2{{/formula}}: Bestimme {{formula}}K{{/formula}}, den Vektor {{formula}}\overrightarrow{PK}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;K){{/formula}}.
	26	+)))
13	13	{{/aufgabe}}
14	14
	29	+{{aufgabe id="Abstand Punkt Koordinatenebene" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=g zeit="8"}}
	30	+Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|4){{/formula}} und die Koordinatenebene {{formula}}Z:\ z=0{{/formula}}.
	31	+
	32	+(%class=abc%)
	33	+1. (((
	34	+Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Z){{/formula}}.
	35	+)))
	36	+1. (((
	37	+Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
	38	+
	39	+Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
	40	+)))
	41	+1. (((
	42	+Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}Z{{/formula}} doppelt so groß ist.
	43	+)))
	44	+{{/aufgabe}}
	45	+
	46	+{{aufgabe id="Lotfußpunkt auf Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=g zeit="10"}}
	47	+Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
	48	+
	49	+{{formula}}
	50	+g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
	51	+{{/formula}}
	52	+
	53	+(%class=abc%)
	54	+1. (((
	55	+Gib einen allgemeinen Punkt {{formula}}G_r{{/formula}} der Geraden {{formula}}g{{/formula}} in Koordinaten an.
	56	+)))
	57	+1. (((
	58	+Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PG_r}{{/formula}}.
	59	+)))
	60	+1. (((
	61	+Berechne dasjenige {{formula}}r_0{{/formula}}, für das der Vektor {{formula}}\overrightarrow{PG_{r_0}}{{/formula}} senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden {{formula}}g{{/formula}} steht, und erläutere, weshalb dafür gilt: {{formula}}d(P;G_{r_0})=d(P;g){{/formula}}.
	62	+)))
	63	+{{/aufgabe}}
	64	+
	65	+{{aufgabe id="Abstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=g zeit="10"}}
	66	+Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
	67	+
	68	+{{formula}}
	69	+g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
	70	+{{/formula}}
	71	+
	72	+(%class=abc%)
	73	+1. (((
	74	+Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;g){{/formula}}.
	75	+)))
	76	+1. (((
	77	+Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}}, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
	78	+
	79	+Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
	80	+)))
	81	+1. (((
	82	+Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}g{{/formula}} doppelt so groß ist.
	83	+)))
	84	+{{/aufgabe}}
	85	+
15	15	{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
16	16	Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
17	17
...	...	@@ -96,3 +96,44 @@
96	96	1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
97	97	)))
98	98	{{/aufgabe}}
	170	+
	171	+{{aufgabe id="Sonnenegel" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Baden Württemberg: berufliche Gymnasium, Abitur 2023 Teil 4 Vektorgeometrie" niveau=e zeit="25"}}
	172	+Die Punkte {{formula}}A(2|2|4){{/formula}}, {{formula}}B(3|2|2){{/formula}} und {{formula}}C(4|5|3){{/formula}} sind die Eckpunkte eines über dem Boden ({{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene) aufgespannten ebenen Sonnensegels.
	173	+Zur Befestigung dient unter anderem ein Pfosten, der sich durch die Strecke {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 4,5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}; 0 \le t \le 1{{/formula}}, beschreiben lässt.
	174	+Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
	175	+(%class=abc%)
	176	+
	177	+1. (((Geben Sie die Länge des Pfosten an.
	178	+)))
	179	+1. (((Zeigen Sie, dass das Sonnensegel in der Ebene mit der Gleichung {{formula}}2x_1-x_2+x_3=6{{/formula}} liegt.
	180	+Bestimmen Sie den Abstand des Sonnensegels zum Boden.
	181	+)))
	182	+1. (((Der Punkt C ist mit einem Seil an dem Pfosten befestigt. Beurteilen Sie, ob ein Seil der Länge 1,85 m dafür ausreichend ist.
	183	+)))
	184	+{{/aufgabe}}
	185	+
	186	+{{aufgabe id="Projektion und Spiegelung" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="14"}}
	187	+Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|4){{/formula}}.
	188	+
	189	+(%class=abc%)
	190	+1. (((
	191	+{{niveau}}g{{/niveau}}
	192	+
	193	+Bestimme die orthogonalen Projektionen von {{formula}}P{{/formula}} auf die drei Koordinatenebenen
	194	+
	195	+{{formula}}X:\ x_1=0,\quad Y:\ x_2=0,\quad Z:\ x_3=0{{/formula}}
	196	+
	197	+und die jeweiligen Spiegelpunkte von {{formula}}P{{/formula}} an diesen Ebenen.
	198	+)))
	199	+1. (((
	200	+{{niveau}}e{{/niveau}}
	201	+
	202	+Gegeben ist zusätzlich die Ebene
	203	+
	204	+{{formula}}E:\ 2x_1-x_2+2x_3=6.{{/formula}}
	205	+
	206	+Bestimme die orthogonale Projektion von {{formula}}P{{/formula}} auf {{formula}}E{{/formula}} und den Spiegelpunkt von {{formula}}P{{/formula}} an {{formula}}E{{/formula}}.
	207	+)))
	208	+{{/aufgabe}}
	209	+
	210	+