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Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2026/05/12 19:46
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am 2026/04/28 09:00
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am 2026/04/27 17:37
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,28 +1,16 @@
1 1  {{seiteninhalt/}}
2 2  
3 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen. {{niveau}}g{{/niveau}}
4 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen. {{niveau}}e{{/niveau}}
3 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
5 5  [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
6 6  
7 7  {{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
8 8  Gegeben sind zwei Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
9 9  (%class=abc%)
10 -1. Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}} zwischen den Punkten {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}Q{{/formula}}.
11 -1. Gib einen Punkt {{formula}}R{{/formula}} an, der von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} hat.
9 +1. Bestimme den Abstand //d(P;Q)// zwischen //Q// und //P//.
10 +1. Gib einen Punkt //R// an, der ebenfalls den Abstand //d// zu //P// hat.
12 12  1. Interpretiere den Abstand als Länge eines Verbindungsvektors.
13 13  {{/aufgabe}}
14 14  
15 -{{aufgabe id="Abstände Punkt Punkt Gerade Ebene" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" niveau=g zeit="18"}}
16 -Gegeben sind zwei Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}} sowie die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}{{/formula}}.
17 -
18 -(%class=abc%)
19 -1. Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}} zwischen den Punkten {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}Q{{/formula}}.
20 -1. Gib einen Punkt {{formula}}R{{/formula}} an, der von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} hat.
21 -1. Interpretiere den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}} als Länge eines Verbindungsvektors.
22 -1. Bestimme den Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von den Koordinatenebenen.
23 -1. Bestimme den Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von der Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
24 -{{/aufgabe}}
25 -
26 26  {{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
27 27  Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
28 28  
... ... @@ -32,10 +32,14 @@
32 32  
33 33  (%class=abc%)
34 34  1. (((
35 -Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
23 +Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
24 +
25 +Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
36 36  )))
37 37  1. (((
38 -Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
28 +Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}.
29 +
30 +Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
39 39  )))
40 40  1. (((
41 41  Untersuche die Gleichheitsfälle:
... ... @@ -46,7 +46,9 @@
46 46  Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
47 47  )))
48 48  1. (((
49 -Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
41 +Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
42 +
43 +Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
50 50  )))
51 51  1. (((
52 52  Erläutere folgende Aussage geometrisch:
... ... @@ -60,17 +60,25 @@
60 60  {{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
61 61  Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
62 62  
63 -Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
57 +Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
58 +Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
59 +{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
60 +beschrieben.
61 +Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
64 64  
65 65  (%class=abc%)
66 66  1. (((
67 -Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
65 +Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
66 +Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
67 +
68 +Markiere in deiner Skizze:
68 68  * die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
69 69  * den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
70 70  * eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
71 71  )))
72 72  1. (((
73 -Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
74 +Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
75 +Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
74 74  )))
75 75  1. (((
76 76  Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
... ... @@ -96,14 +96,42 @@
96 96  Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
97 97  
98 98  (%class=abc%)
99 -1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist. Zeige, dass die Ebene {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}} die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
101 +1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
102 +
103 +Zeige, dass die Ebene
104 +
105 +{{formula}}
106 +E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2
107 +{{/formula}}
108 +
109 +die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
100 100  )))
101 101  1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
102 102  )))
103 -1. (((Erkläre geometrisch, weshalb {{formula}}d(g_1;g_2)=d(g_2;E){{/formula}} gilt.
113 +1. (((Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
114 +
115 +{{formula}}
116 +d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
117 +{{/formula}}
104 104  )))
105 -1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann: {{formula}}d(g_2;E)=d(P_2;E){{/formula}}.
119 +1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
120 +
121 +{{formula}}
122 +d(g_2;E)=d(P_2;E).
123 +{{/formula}}
106 106  )))
107 -1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
125 +1. (((Fasse die Rückführung zusammen:
126 +
127 +{{formula}}
128 +d(g_1;g_2)=d(P_2;E)
129 +{{/formula}}
130 +
131 +mit
132 +
133 +{{formula}}
134 +E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2.
135 +{{/formula}}
136 +
137 +Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
108 108  )))
109 109  {{/aufgabe}}