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Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

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am 2026/04/27 16:56
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,44 +1,16 @@
1 1  {{seiteninhalt/}}
2 2  
3 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen. {{niveau}}g{{/niveau}}
4 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen. {{niveau}}e{{/niveau}}
3 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
5 5  [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
6 6  
7 -{{aufgabe id="Abstände Punkt Punkt Ebene" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" niveau=g zeit="18"}}
8 -Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}} sowie die Koordinatenebene
9 -
10 -{{formula}}E:\ z=0.{{/formula}}
11 -
12 -(%class=abc%)
13 -1. Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}} zwischen den Punkten {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}Q{{/formula}}.
14 -1. Gib einen Punkt {{formula}}R{{/formula}} an, der von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} hat.
15 -1. Bestimme den Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
16 -1. Betrachte zusätzlich die Punkte
17 - {{formula}}P_1(1|3|2){{/formula}}, {{formula}}P_2(1|3|-4){{/formula}}.
18 -
19 - Bestimme jeweils den Abstand dieser Punkte von der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
20 -1. Beschreibe, was dir beim Vergleich der Ergebnisse auffällt.
21 -{{/aufgabe}}
22 -
23 23  {{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
24 -Gegeben sind zwei Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
7 +Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
8 +{{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
25 25  (%class=abc%)
26 -1. Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}} zwischen den Punkten {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}Q{{/formula}}.
27 -1. Gib einen Punkt {{formula}}R{{/formula}} an, der von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} hat.
28 -1. Interpretiere den Abstand als Länge eines Verbindungsvektors.
10 +1. Bestimme den Abstand //d//, den //Q// von //P// hat.
11 +1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
29 29  {{/aufgabe}}
30 30  
31 -{{aufgabe id="Abstände Punkt Punkt Gerade Ebene" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" niveau=g zeit="18"}}
32 -Gegeben sind zwei Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}} sowie die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}{{/formula}}.
33 -
34 -(%class=abc%)
35 -1. Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}} zwischen den Punkten {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}Q{{/formula}}.
36 -1. Gib einen Punkt {{formula}}R{{/formula}} an, der von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} hat.
37 -1. Interpretiere den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}} als Länge eines Verbindungsvektors.
38 -1. Bestimme den Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von den Koordinatenebenen.
39 -1. Bestimme den Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von der Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
40 -{{/aufgabe}}
41 -
42 42  {{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
43 43  Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
44 44  
... ... @@ -48,10 +48,24 @@
48 48  
49 49  (%class=abc%)
50 50  1. (((
51 -Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
23 +Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
24 +
25 +Zeige dazu:
26 +
27 +{{formula}}
28 +\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
29 +{{/formula}}
30 +
31 +und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
52 52  )))
53 53  1. (((
54 -Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
34 +Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
35 +
36 +{{formula}}
37 +d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
38 +{{/formula}}
39 +
40 +Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
55 55  )))
56 56  1. (((
57 57  Untersuche die Gleichheitsfälle:
... ... @@ -62,14 +62,18 @@
62 62  Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
63 63  )))
64 64  1. (((
65 -Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
51 +Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
52 +
53 +Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
66 66  )))
67 67  1. (((
68 -Erläutere folgende Aussage geometrisch:
56 +Formuliere eine allgemeine Aussage:
69 69  
70 70  {{formula}}
71 71  M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
72 72  {{/formula}}
61 +
62 +Erläutere diese Aussage geometrisch.
73 73  )))
74 74  {{/aufgabe}}
75 75  
... ... @@ -76,17 +76,25 @@
76 76  {{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
77 77  Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
78 78  
79 -Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
69 +Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
70 +Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
71 +{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
72 +beschrieben.
73 +Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
80 80  
81 81  (%class=abc%)
82 82  1. (((
83 -Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
77 +Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
78 +Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
79 +
80 +Markiere in deiner Skizze:
84 84  * die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
85 85  * den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
86 86  * eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
87 87  )))
88 88  1. (((
89 -Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
86 +Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
87 +Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
90 90  )))
91 91  1. (((
92 92  Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
... ... @@ -98,7 +98,8 @@
98 98  1. (((
99 99  Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
100 100  
101 -Erläutere anhand deiner Ergebnisse, warum die Drohne der Landefläche näher ist als der Begrenzungslinie und dem Punkt A.)))
99 +Überprüfe anhand deiner Ergebnisse die Vermutung aus der Strukturaufgabe und erläutere kurz, wie sich die Lage der Mengen {{formula}}\{A\}{{/formula}}, {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} auf die Abstände auswirkt.
100 +)))
102 102  1. (((
103 103  Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
104 104  
... ... @@ -106,20 +106,68 @@
106 106  )))
107 107  {{/aufgabe}}
108 108  
109 -{{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
110 -**Hinweis:** //Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In den vorherigen Aufgaben wurden Abstände auf Punkt–Gerade–Ebene zurückgeführt. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.//
108 +{{aufgabe id="Abstandsprobleme zurückführen" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="18"}}
109 +Gegeben seien zwei Geraden
111 111  
112 -Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
111 +{{formula}}
112 +g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1
113 +{{/formula}}
113 113  
115 +und
116 +
117 +{{formula}}
118 +g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2.
119 +{{/formula}}
120 +
121 +Die Geraden seien windschief, insbesondere gilt {{formula}}\vec{u}_1{{/formula}} ist kein Vielfaches von {{formula}}\vec{u}_2{{/formula}}.
122 +
114 114  (%class=abc%)
115 -1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist. Zeige, dass die Ebene {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}} die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
124 +1. (((
125 +Beschreibe, weshalb der Abstand zweier windschiefer Geraden ein neues Abstandsproblem darstellt.
126 +
127 +Vergleiche dazu mit den bereits bekannten Abstandsproblemen:
128 +* Punkt – Punkt
129 +* Punkt – Gerade
130 +* Punkt – Ebene
116 116  )))
117 -1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
132 +1. (((
133 +Konstruiere eine Ebene {{formula}}E{{/formula}}, die die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zur Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
134 +
135 +Gib diese Ebene in Parameterform an.
118 118  )))
119 -1. (((Erkläre geometrisch, weshalb {{formula}}d(g_1;g_2)=d(g_2;E){{/formula}} gilt.
137 +1. (((
138 +Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
120 120  )))
121 -1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann: {{formula}}d(g_2;E)=d(P_2;E){{/formula}}.
140 +1. (((
141 +Begründe die Rückführung
142 +
143 +{{formula}}
144 +d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
145 +{{/formula}}
146 +
147 +Erläutere geometrisch, warum sich der Abstand dabei nicht verändert.
122 122  )))
123 -1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
149 +1. (((
150 +Begründe anschließend die Rückführung
151 +
152 +{{formula}}
153 +d(g_2;E)=d(P_2;E).
154 +{{/formula}}
155 +
156 +Erkläre, warum ein beliebiger Punkt {{formula}}P_2{{/formula}} der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} genügt.
124 124  )))
158 +1. (((
159 +Formuliere die vollständige Rückführung:
160 +
161 +{{formula}}
162 +d(g_1;g_2)=d(P_2;E(P_1;\vec{u}_1;\vec{u}_2)).
163 +{{/formula}}
164 +
165 +Beschreibe in eigenen Worten die verwendete Problemlösestrategie.
166 +)))
167 +1. (((
168 +Bestimme einen Normalenvektor der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
169 +
170 +Erkläre, wie sich der Abstand der windschiefen Geraden dadurch als Punkt-Ebene-Abstand berechnen lässt.
171 +)))
125 125  {{/aufgabe}}