Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

Zusammenfassung

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,44 +1,16 @@
1	1	{{seiteninhalt/}}
2	2
3		-[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen. {{niveau}}g{{/niveau}}
4		-[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen. {{niveau}}e{{/niveau}}
	3	+[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
5	5	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
6	6
7		-{{aufgabe id="Abstände Punkt Punkt Ebene" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" niveau=g zeit="18"}}
8		-Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}} sowie die Koordinatenebene
9		-
10		-{{formula}}E:\ z=0.{{/formula}}
11		-
12		-(%class=abc%)
13		-1. Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}} zwischen den Punkten {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}Q{{/formula}}.
14		-1. Gib einen Punkt {{formula}}R{{/formula}} an, der von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} hat.
15		-1. Bestimme den Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
16		-1. Betrachte zusätzlich die Punkte
17		- {{formula}}P_1(1|3|2){{/formula}}, {{formula}}P_2(1|3|-4){{/formula}}.
18		-
19		- Bestimme jeweils den Abstand dieser Punkte von der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
20		-1. Beschreibe, was dir beim Vergleich der Ergebnisse auffällt.
21		-{{/aufgabe}}
22		-
23	23	{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
24	24	Gegeben sind zwei Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
25	25	(%class=abc%)
26		-1. Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}} zwischen den Punkten {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}Q{{/formula}}.
27		-1. Gib einen Punkt {{formula}}R{{/formula}} an, der von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} hat.
	9	+1. Bestimme den Abstand //d(P;Q)// zwischen //Q// und //P//.
	10	+1. Gib einen Punkt //R// an, der ebenfalls den Abstand //d// zu //P// hat.
28	28	1. Interpretiere den Abstand als Länge eines Verbindungsvektors.
29	29	{{/aufgabe}}
30	30
31		-{{aufgabe id="Abstände Punkt Punkt Gerade Ebene" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" niveau=g zeit="18"}}
32		-Gegeben sind zwei Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}} sowie die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}{{/formula}}.
33		-
34		-(%class=abc%)
35		-1. Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}} zwischen den Punkten {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}Q{{/formula}}.
36		-1. Gib einen Punkt {{formula}}R{{/formula}} an, der von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} hat.
37		-1. Interpretiere den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}} als Länge eines Verbindungsvektors.
38		-1. Bestimme den Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von den Koordinatenebenen.
39		-1. Bestimme den Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von der Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
40		-{{/aufgabe}}
41		-
42	42	{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
43	43	Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
44	44
...	...	@@ -48,10 +48,14 @@
48	48
49	49	(%class=abc%)
50	50	1. (((
51		-Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
	23	+Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
	24	+
	25	+Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
52	52	)))
53	53	1. (((
54		-Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
	28	+Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}.
	29	+
	30	+Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
55	55	)))
56	56	1. (((
57	57	Untersuche die Gleichheitsfälle:
...	...	@@ -62,7 +62,9 @@
62	62	Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
63	63	)))
64	64	1. (((
65		-Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
	41	+Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
	42	+
	43	+Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
66	66	)))
67	67	1. (((
68	68	Erläutere folgende Aussage geometrisch:
...	...	@@ -76,17 +76,25 @@
76	76	{{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
77	77	Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
78	78
79		-Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
	57	+Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
	58	+Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
	59	+{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
	60	+beschrieben.
	61	+Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
80	80
81	81	(%class=abc%)
82	82	1. (((
83		-Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
	65	+Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
	66	+Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
	67	+
	68	+Markiere in deiner Skizze:
84	84	* die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
85	85	* den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
86	86	* eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
87	87	)))
88	88	1. (((
89		-Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
	74	+Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
	75	+Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
90	90	)))
91	91	1. (((
92	92	Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
...	...	@@ -112,14 +112,42 @@
112	112	Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
113	113
114	114	(%class=abc%)
115		-1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist. Zeige, dass die Ebene {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}} die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
	101	+1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
	102	+
	103	+Zeige, dass die Ebene
	104	+
	105	+{{formula}}
	106	+E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2
	107	+{{/formula}}
	108	+
	109	+die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
116	116	)))
117	117	1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
118	118	)))
119		-1. (((Erkläre geometrisch, weshalb {{formula}}d(g_1;g_2)=d(g_2;E){{/formula}} gilt.
	113	+1. (((Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
	114	+
	115	+{{formula}}
	116	+d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
	117	+{{/formula}}
120	120	)))
121		-1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann: {{formula}}d(g_2;E)=d(P_2;E){{/formula}}.
	119	+1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
	120	+
	121	+{{formula}}
	122	+d(g_2;E)=d(P_2;E).
	123	+{{/formula}}
122	122	)))
123		-1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
	125	+1. (((Fasse die Rückführung zusammen:
	126	+
	127	+{{formula}}
	128	+d(g_1;g_2)=d(P_2;E)
	129	+{{/formula}}
	130	+
	131	+mit
	132	+
	133	+{{formula}}
	134	+E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2.
	135	+{{/formula}}
	136	+
	137	+Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
124	124	)))
125	125	{{/aufgabe}}