Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

Zusammenfassung

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,19 +1,15 @@
1	1	{{seiteninhalt/}}
2	2
3		-[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen. {{niveau}}g{{/niveau}}
4		-[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen. {{niveau}}e{{/niveau}}
	3	+[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
5	5	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
6	6
7		-{{aufgabe id="Abstände Punkt Punkt Gerade Ebene" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" niveau=g zeit="16"}}
8		-Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}, die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}{{/formula}} sowie die Koordinatenebene {{formula}}Z :\ z=0{{/formula}}.
9		-
	6	+{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
	7	+Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
	8	+{{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
10	10	(%class=abc%)
11		-1. Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
12		-1. Gib einen Punkt {{formula}}R{{/formula}} an, der von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} hat.
13		-1. Bestimme den Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von der Ebene {{formula}}Z{{/formula}}.
14		-1. Gib einen Punkt {{formula}}P_1{{/formula}} an, dessen Abstand von der Ebene {{formula}}Z{{/formula}} doppelt so groß ist wie der von {{formula}}P{{/formula}}.
15		-1. Bestimme den Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von der Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
16		-1. Gib einen Punkt {{formula}}P_2{{/formula}} an, dessen Abstand von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} gleich dem Abstand von {{formula}}P{{/formula}} ist.
	10	+1. Bestimme den Abstand //d(P;Q)// zwischen //Q// und //P//.
	11	+1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
	12	+1. Interpretiere den Abstand als Länge eines Verbindungsvektors.
17	17	{{/aufgabe}}
18	18
19	19	{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
...	...	@@ -25,10 +25,24 @@
25	25
26	26	(%class=abc%)
27	27	1. (((
28		-Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
	24	+Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
	25	+
	26	+Zeige dazu:
	27	+
	28	+{{formula}}
	29	+\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
	30	+{{/formula}}
	31	+
	32	+und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
29	29	)))
30	30	1. (((
31		-Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
	35	+Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
	36	+
	37	+{{formula}}
	38	+d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
	39	+{{/formula}}
	40	+
	41	+Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
32	32	)))
33	33	1. (((
34	34	Untersuche die Gleichheitsfälle:
...	...	@@ -39,14 +39,18 @@
39	39	Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
40	40	)))
41	41	1. (((
42		-Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
	52	+Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
	53	+
	54	+Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
43	43	)))
44	44	1. (((
45		-Erläutere folgende Aussage geometrisch:
	57	+Formuliere eine allgemeine Aussage:
46	46
47	47	{{formula}}
48	48	M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
49	49	{{/formula}}
	62	+
	63	+Erläutere diese Aussage geometrisch.
50	50	)))
51	51	{{/aufgabe}}
52	52
...	...	@@ -53,17 +53,25 @@
53	53	{{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
54	54	Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
55	55
56		-Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
	70	+Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
	71	+Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
	72	+{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
	73	+beschrieben.
	74	+Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
57	57
58	58	(%class=abc%)
59	59	1. (((
60		-Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
	78	+Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
	79	+Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
	80	+
	81	+Markiere in deiner Skizze:
61	61	* die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
62	62	* den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
63	63	* eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
64	64	)))
65	65	1. (((
66		-Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
	87	+Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
	88	+Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
67	67	)))
68	68	1. (((
69	69	Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
...	...	@@ -89,14 +89,42 @@
89	89	Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
90	90
91	91	(%class=abc%)
92		-1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist. Zeige, dass die Ebene {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}} die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
	114	+1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
	115	+
	116	+Zeige, dass die Ebene
	117	+
	118	+{{formula}}
	119	+E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2
	120	+{{/formula}}
	121	+
	122	+die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
93	93	)))
94	94	1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
95	95	)))
96		-1. (((Erkläre geometrisch, weshalb {{formula}}d(g_1;g_2)=d(g_2;E){{/formula}} gilt.
	126	+1. (((Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
	127	+
	128	+{{formula}}
	129	+d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
	130	+{{/formula}}
97	97	)))
98		-1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann: {{formula}}d(g_2;E)=d(P_2;E){{/formula}}.
	132	+1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
	133	+
	134	+{{formula}}
	135	+d(g_2;E)=d(P_2;E).
	136	+{{/formula}}
99	99	)))
100		-1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
	138	+1. (((Fasse die Rückführung zusammen:
	139	+
	140	+{{formula}}
	141	+d(g_1;g_2)=d(P_2;E)
	142	+{{/formula}}
	143	+
	144	+mit
	145	+
	146	+{{formula}}
	147	+E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2.
	148	+{{/formula}}
	149	+
	150	+Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
101	101	)))
102	102	{{/aufgabe}}