Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,28 +1,15 @@
1	1	{{seiteninhalt/}}
2	2
3		-[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen. {{niveau}}g{{/niveau}}
4		-[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen. {{niveau}}e{{/niveau}}
	3	+[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
5	5	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
6	6
7		-{{aufgabe id="Abstand Punkt Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb" niveau=g zeit="9"}}
8		-Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
9		-
	6	+{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
	7	+Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
	8	+{{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
10	10	(%class=abc%)
11		-1. (((
12		-Zeichne die Punkte {{formula}}P{{/formula}}, {{formula}}Q{{/formula}} sowie den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} in ein Koordinatensystem ein.
13		-)))
14		-1. (((
15		-Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} in Koordinaten und den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
16		-)))
17		-1. (((
18		-Ein Mitschüler behauptet:
19		-
20		-„Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
21		-
22		-Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie gegebenenfalls. Berücksichtige dabei auch negative Werte von {{formula}}r{{/formula}}.
23		-
24		-Untersuche dazu den Fall {{formula}}r=-2{{/formula}}: Bestimme {{formula}}K{{/formula}}, den Vektor {{formula}}\overrightarrow{PK}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;K){{/formula}}.
25		-)))
	10	+1. Bestimme den Abstand //d(P;Q)// zwischen //Q// und //P//.
	11	+1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
	12	+1. Interpretiere den Abstand als Länge eines Verbindungsvektors.
26	26	{{/aufgabe}}
27	27
28	28	{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
...	...	@@ -34,10 +34,24 @@
34	34
35	35	(%class=abc%)
36	36	1. (((
37		-Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
	24	+Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
	25	+
	26	+Zeige dazu:
	27	+
	28	+{{formula}}
	29	+\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
	30	+{{/formula}}
	31	+
	32	+und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
38	38	)))
39	39	1. (((
40		-Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
	35	+Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
	36	+
	37	+{{formula}}
	38	+d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
	39	+{{/formula}}
	40	+
	41	+Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
41	41	)))
42	42	1. (((
43	43	Untersuche die Gleichheitsfälle:
...	...	@@ -48,14 +48,18 @@
48	48	Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
49	49	)))
50	50	1. (((
51		-Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
	52	+Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
	53	+
	54	+Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
52	52	)))
53	53	1. (((
54		-Erläutere folgende Aussage geometrisch:
	57	+Formuliere eine allgemeine Aussage:
55	55
56	56	{{formula}}
57	57	M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
58	58	{{/formula}}
	62	+
	63	+Erläutere diese Aussage geometrisch.
59	59	)))
60	60	{{/aufgabe}}
61	61
...	...	@@ -62,17 +62,25 @@
62	62	{{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
63	63	Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
64	64
65		-Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
	70	+Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
	71	+Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
	72	+{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
	73	+beschrieben.
	74	+Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
66	66
67	67	(%class=abc%)
68	68	1. (((
69		-Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
	78	+Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
	79	+Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
	80	+
	81	+Markiere in deiner Skizze:
70	70	* die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
71	71	* den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
72	72	* eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
73	73	)))
74	74	1. (((
75		-Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
	87	+Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
	88	+Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
76	76	)))
77	77	1. (((
78	78	Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
...	...	@@ -98,14 +98,42 @@
98	98	Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
99	99
100	100	(%class=abc%)
101		-1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist. Zeige, dass die Ebene {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}} die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
	114	+1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
	115	+
	116	+Zeige, dass die Ebene
	117	+
	118	+{{formula}}
	119	+E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2
	120	+{{/formula}}
	121	+
	122	+die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
102	102	)))
103	103	1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
104	104	)))
105		-1. (((Erkläre geometrisch, weshalb {{formula}}d(g_1;g_2)=d(g_2;E){{/formula}} gilt.
	126	+1. (((Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
	127	+
	128	+{{formula}}
	129	+d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
	130	+{{/formula}}
106	106	)))
107		-1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann: {{formula}}d(g_2;E)=d(P_2;E){{/formula}}.
	132	+1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
	133	+
	134	+{{formula}}
	135	+d(g_2;E)=d(P_2;E).
	136	+{{/formula}}
108	108	)))
109		-1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
	138	+1. (((Fasse die Rückführung zusammen:
	139	+
	140	+{{formula}}
	141	+d(g_1;g_2)=d(P_2;E)
	142	+{{/formula}}
	143	+
	144	+mit
	145	+
	146	+{{formula}}
	147	+E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2.
	148	+{{/formula}}
	149	+
	150	+Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
110	110	)))
111	111	{{/aufgabe}}