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Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2026/05/12 19:46
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am 2026/04/28 11:13
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am 2026/04/27 17:08
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,26 +1,14 @@
1 1  {{seiteninhalt/}}
2 2  
3 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen. {{niveau}}g{{/niveau}}
4 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen. {{niveau}}e{{/niveau}}
3 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
5 5  [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
6 6  
7 -{{aufgabe id="Abstand Punkt Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb" niveau=g zeit="9"}}
8 -Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
9 -
6 +{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7 +Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
8 +{{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
10 10  (%class=abc%)
11 -1. (((
12 -Zeichne die Punkte und ihren Verbindungsvektor in ein Koordinatensystem ein.
13 -)))
14 -1. (((
15 -Berechne den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
16 -)))
17 -1. (((
18 -Ein Mitschüler behauptet:
19 -
20 -„Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
21 -
22 -Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie notfalls. Untersuche dazu den Fall {{formula}}r=-2{{/formula}}: Bestimme {{formula}}K{{/formula}}, den Vektor {{formula}}\overrightarrow{PK}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;K){{/formula}}.
23 -)))
10 +1. Bestimme den Abstand //d//, den //Q// von //P// hat.
11 +1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
24 24  {{/aufgabe}}
25 25  
26 26  {{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
... ... @@ -32,10 +32,24 @@
32 32  
33 33  (%class=abc%)
34 34  1. (((
35 -Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
23 +Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
24 +
25 +Zeige dazu:
26 +
27 +{{formula}}
28 +\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
29 +{{/formula}}
30 +
31 +und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
36 36  )))
37 37  1. (((
38 -Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
34 +Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
35 +
36 +{{formula}}
37 +d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
38 +{{/formula}}
39 +
40 +Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
39 39  )))
40 40  1. (((
41 41  Untersuche die Gleichheitsfälle:
... ... @@ -46,14 +46,18 @@
46 46  Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
47 47  )))
48 48  1. (((
49 -Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
51 +Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
52 +
53 +Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
50 50  )))
51 51  1. (((
52 -Erläutere folgende Aussage geometrisch:
56 +Formuliere eine allgemeine Aussage:
53 53  
54 54  {{formula}}
55 55  M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
56 56  {{/formula}}
61 +
62 +Erläutere diese Aussage geometrisch.
57 57  )))
58 58  {{/aufgabe}}
59 59  
... ... @@ -60,17 +60,25 @@
60 60  {{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
61 61  Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
62 62  
63 -Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
69 +Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
70 +Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
71 +{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
72 +beschrieben.
73 +Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
64 64  
65 65  (%class=abc%)
66 66  1. (((
67 -Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
77 +Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
78 +Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
79 +
80 +Markiere in deiner Skizze:
68 68  * die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
69 69  * den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
70 70  * eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
71 71  )))
72 72  1. (((
73 -Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
86 +Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
87 +Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
74 74  )))
75 75  1. (((
76 76  Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
... ... @@ -82,7 +82,8 @@
82 82  1. (((
83 83  Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
84 84  
85 -Erläutere anhand deiner Ergebnisse, warum die Drohne der Landefläche näher ist als der Begrenzungslinie und dem Punkt A.)))
99 +Überprüfe anhand deiner Ergebnisse die Vermutung aus der Strukturaufgabe und erläutere kurz, wie sich die Lage der Mengen {{formula}}\{A\}{{/formula}}, {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} auf die Abstände auswirkt.
100 +)))
86 86  1. (((
87 87  Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
88 88  
... ... @@ -90,20 +90,101 @@
90 90  )))
91 91  {{/aufgabe}}
92 92  
108 +{{aufgabe id="Abstandsprobleme Punkt Gerade Ebene" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="18"}}
109 +Gegeben seien ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}, ein Punkt {{formula}}A{{/formula}}, eine Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}A\in g{{/formula}} und eine Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit {{formula}}g\subset E{{/formula}}. Der Punkt {{formula}}P{{/formula}} liege nicht in der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
110 +
111 +Betrachtet werden die Abstände
112 +
113 +{{formula}}
114 +d(P;A),\quad d(P;g),\quad d(P;E).
115 +{{/formula}}
116 +
117 +(%class=abc%)
118 +1. (((
119 +Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
120 +)))
121 +1. (((
122 +Beschreibe die drei Abstände jeweils als Minimierungsproblem der Form
123 +
124 +{{formula}}
125 +d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X\in M\,\}.
126 +{{/formula}}
127 +
128 +Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
129 +)))
130 +1. (((
131 +Beschreibe für {{formula}}d(P;g){{/formula}} und {{formula}}d(P;E){{/formula}} jeweils den Punkt, der den Abstand realisiert.
132 +
133 +Formuliere die zugehörige Orthogonalitätsbedingung.
134 +)))
135 +1. (((
136 +Erläutere allgemein:
137 +
138 +{{formula}}
139 +M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
140 +{{/formula}}
141 +
142 +Beziehe diese Aussage auf die drei gegebenen Abstände.
143 +)))
144 +{{/aufgabe}}
145 +
93 93  {{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
94 -**Hinweis:** //Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In den vorherigen Aufgaben wurden Abstände auf Punkt–Gerade–Ebene zurückgeführt. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.//
147 +Gegeben seien zwei windschiefe Geraden
95 95  
96 -Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
149 +{{formula}}
150 +g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1
151 +{{/formula}}
97 97  
153 +und
154 +
155 +{{formula}}
156 +g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2.
157 +{{/formula}}
158 +
159 +Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.
160 +
98 98  (%class=abc%)
99 -1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist. Zeige, dass die Ebene {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}} die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
162 +1. (((
163 +Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
164 +
165 +Zeige, dass die Ebene
166 +
167 +{{formula}}
168 +E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2
169 +{{/formula}}
170 +
171 +die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
100 100  )))
101 -1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
173 +1. (((
174 +Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
102 102  )))
103 -1. (((Erkläre geometrisch, weshalb {{formula}}d(g_1;g_2)=d(g_2;E){{/formula}} gilt.
176 +1. (((
177 +Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
178 +
179 +{{formula}}
180 +d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
181 +{{/formula}}
104 104  )))
105 -1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann: {{formula}}d(g_2;E)=d(P_2;E){{/formula}}.
183 +1. (((
184 +Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
185 +
186 +{{formula}}
187 +d(g_2;E)=d(P_2;E).
188 +{{/formula}}
106 106  )))
107 -1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
190 +1. (((
191 +Fasse die Rückführung zusammen:
192 +
193 +{{formula}}
194 +d(g_1;g_2)=d(P_2;E)
195 +{{/formula}}
196 +
197 +mit
198 +
199 +{{formula}}
200 +E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2.
201 +{{/formula}}
202 +
203 +Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
108 108  )))
109 109  {{/aufgabe}}