Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,23 +1,14 @@
1	1	{{seiteninhalt/}}
2	2
3		-[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen. {{niveau}}g{{/niveau}}
4		-[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen. {{niveau}}e{{/niveau}}
	3	+[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
5	5	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
6	6
7		-{{aufgabe id="Abstand Punkt Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb" niveau=g zeit="9"}}
8		-Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
9		-
	6	+{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
	7	+Gegeben sind zwei Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
10	10	(%class=abc%)
11		-1. (((Zeichne die Punkte und ihren Verbindungsvektor in ein Koordinatensystem ein.
12		-)))
13		-1. (((Berechne den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
14		-)))
15		-1. (((Ein Mitschüler behauptet:
16		-
17		-„Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
18		-
19		-Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie notfalls. Untersuche dazu den Fall {{formula}}r=-2{{/formula}}: Bestimme {{formula}}K{{/formula}}, den Vektor {{formula}}\overrightarrow{PK}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;K){{/formula}}.
20		-)))
	9	+1. Bestimme den Abstand //d(P;Q)// zwischen //Q// und //P//.
	10	+1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
	11	+1. Interpretiere den Abstand als Länge eines Verbindungsvektors.
21	21	{{/aufgabe}}
22	22
23	23	{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
...	...	@@ -29,10 +29,18 @@
29	29
30	30	(%class=abc%)
31	31	1. (((
32		-Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
	23	+Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
	24	+
	25	+Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
33	33	)))
34	34	1. (((
35		-Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
	28	+Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
	29	+
	30	+{{formula}}
	31	+d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
	32	+{{/formula}}
	33	+
	34	+Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
36	36	)))
37	37	1. (((
38	38	Untersuche die Gleichheitsfälle:
...	...	@@ -43,14 +43,18 @@
43	43	Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
44	44	)))
45	45	1. (((
46		-Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
	45	+Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
	46	+
	47	+Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
47	47	)))
48	48	1. (((
49		-Erläutere folgende Aussage geometrisch:
	50	+Formuliere eine allgemeine Aussage:
50	50
51	51	{{formula}}
52	52	M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
53	53	{{/formula}}
	55	+
	56	+Erläutere diese Aussage geometrisch.
54	54	)))
55	55	{{/aufgabe}}
56	56
...	...	@@ -57,17 +57,25 @@
57	57	{{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
58	58	Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
59	59
60		-Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
	63	+Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
	64	+Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
	65	+{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
	66	+beschrieben.
	67	+Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
61	61
62	62	(%class=abc%)
63	63	1. (((
64		-Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
	71	+Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
	72	+Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
	73	+
	74	+Markiere in deiner Skizze:
65	65	* die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
66	66	* den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
67	67	* eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
68	68	)))
69	69	1. (((
70		-Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
	80	+Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
	81	+Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
71	71	)))
72	72	1. (((
73	73	Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
...	...	@@ -93,14 +93,42 @@
93	93	Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
94	94
95	95	(%class=abc%)
96		-1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist. Zeige, dass die Ebene {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}} die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
	107	+1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
	108	+
	109	+Zeige, dass die Ebene
	110	+
	111	+{{formula}}
	112	+E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2
	113	+{{/formula}}
	114	+
	115	+die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
97	97	)))
98	98	1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
99	99	)))
100		-1. (((Erkläre geometrisch, weshalb {{formula}}d(g_1;g_2)=d(g_2;E){{/formula}} gilt.
	119	+1. (((Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
	120	+
	121	+{{formula}}
	122	+d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
	123	+{{/formula}}
101	101	)))
102		-1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann: {{formula}}d(g_2;E)=d(P_2;E){{/formula}}.
	125	+1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
	126	+
	127	+{{formula}}
	128	+d(g_2;E)=d(P_2;E).
	129	+{{/formula}}
103	103	)))
104		-1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
	131	+1. (((Fasse die Rückführung zusammen:
	132	+
	133	+{{formula}}
	134	+d(g_1;g_2)=d(P_2;E)
	135	+{{/formula}}
	136	+
	137	+mit
	138	+
	139	+{{formula}}
	140	+E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2.
	141	+{{/formula}}
	142	+
	143	+Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
105	105	)))
106	106	{{/aufgabe}}