Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2026/05/12 19:46

Von 16.1 nach 15.1 Von 38.3 nach 38.2

Von Version 38.2

bearbeitet von Dirk Tebbe
am 2026/04/28 11:32

Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version

Auf Version 16.1

bearbeitet von Martin Rathgeb
am 2026/04/27 17:08

Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version

Rohform
Im Layout

Zusammenfassung

Seiteneigenschaften (2 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)

Details

Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

@@ -1,1 +1,1 @@
--XWiki.dirktebbe
++XWiki.martinrathgeb

Inhalt

@@ -1,59 +1,45 @@
  {{seiteninhalt/}}
--[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen. {{niveau}}g{{/niveau}}
--[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen. {{niveau}}e{{/niveau}}
++[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
  [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
--{{aufgabe id="Abstand Punkt Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb" niveau=g zeit="9"}}
--Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
--
++{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
++Es sind zwei Punkte  //P// und //Q// gegeben:
++{{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
  (%class=abc%)
--1. (((Zeichne die Punkte und ihren Verbindungsvektor in ein Koordinatensystem ein.
--)))
--1. (((Berechne den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
--)))
--1. (((Ein Mitschüler behauptet:
--
--„Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
--
--Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie notfalls. Untersuche dazu den Fall {{formula}}r=-2{{/formula}}: Bestimme {{formula}}K{{/formula}}, den Vektor {{formula}}\overrightarrow{PK}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;K){{/formula}}.
--)))
++1. Bestimme den Abstand //d//, den //Q// von //P// hat.
++1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Abstand Punkt Koordinatenebene" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=g zeit="8"}}
--Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|4){{/formula}} und die Koordinatenebene
++{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
++Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
--{{formula}}Z:\ z=0.{{/formula}}
++{{formula}}
++d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
++{{/formula}}
  (%class=abc%)
 . (((
--Gib den Abstand {{formula}}d(P;Z){{/formula}} an.
--)))
--1. (((
--Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}}, die Ebene {{formula}}Z{{/formula}} und drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
++Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
--Beschreibe den Ort beziehungsweise die Orte aller Punkte mit diesem Abstand zu {{formula}}Z{{/formula}}.
++Zeige dazu:
++
++{{formula}}
++\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
++{{/formula}}
++
++und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
  )))
 . (((
--Beschreibe den Ort beziehungsweise die Orte aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}Z{{/formula}} halb so groß ist wie {{formula}}d(P;Z){{/formula}}.
--)))
--{{/aufgabe}}
++Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
--{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
--Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
--
  {{formula}}
--d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
++d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
  {{/formula}}
--(%class=abc%)
--1. (((
--Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
++Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
  )))
 . (((
--Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
--)))
--1. (((
  Untersuche die Gleichheitsfälle:
  * Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
@@ -62,14 +62,18 @@
  Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
  )))
 . (((
--Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
++Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
++
++Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
  )))
 . (((
--Erläutere folgende Aussage geometrisch:
++Formuliere eine allgemeine Aussage:
  {{formula}}
  M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
  {{/formula}}
++
++Erläutere diese Aussage geometrisch.
  )))
  {{/aufgabe}}
@@ -76,17 +76,25 @@
  {{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
  Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
--Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
++Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
++Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
++{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
++beschrieben.
++Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
  (%class=abc%)
 . (((
--Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
++Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
++Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
++
++Markiere in deiner Skizze:
  * die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
  * den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
  * eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
  )))
 . (((
--Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
++Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
++Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
  )))
 . (((
  Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
@@ -98,7 +98,8 @@
 . (((
  Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
--Erläutere anhand deiner Ergebnisse, warum die Drohne der Landefläche näher ist als der Begrenzungslinie und dem Punkt A.)))
++Überprüfe anhand deiner Ergebnisse die Vermutung aus der Strukturaufgabe und erläutere kurz, wie sich die Lage der Mengen {{formula}}\{A\}{{/formula}}, {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} auf die Abstände auswirkt.
++)))
 . (((
  Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
@@ -106,36 +106,101 @@
  )))
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
--**Hinweis:** //Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In den vorherigen Aufgaben wurden Abstände auf Punkt–Gerade–Ebene zurückgeführt. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.//
++{{aufgabe id="Abstandsprobleme Punkt Gerade Ebene" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="18"}}
++Gegeben seien ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}, ein Punkt {{formula}}A{{/formula}}, eine Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}A\in g{{/formula}} und eine Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit {{formula}}g\subset E{{/formula}}. Der Punkt {{formula}}P{{/formula}} liege nicht in der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
--Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
++Betrachtet werden die Abstände
++{{formula}}
++d(P;A),\quad d(P;g),\quad d(P;E).
++{{/formula}}
++
  (%class=abc%)
--1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist. Zeige, dass die Ebene {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}} die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
++1. (((
++Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
  )))
--1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
++1. (((
++Beschreibe die drei Abstände jeweils als Minimierungsproblem der Form
++
++{{formula}}
++d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X\in M\,\}.
++{{/formula}}
++
++Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
  )))
--1. (((Erkläre geometrisch, weshalb {{formula}}d(g_1;g_2)=d(g_2;E){{/formula}} gilt.
++1. (((
++Beschreibe für {{formula}}d(P;g){{/formula}} und {{formula}}d(P;E){{/formula}} jeweils den Punkt, der den Abstand realisiert.
++
++Formuliere die zugehörige Orthogonalitätsbedingung.
  )))
--1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann: {{formula}}d(g_2;E)=d(P_2;E){{/formula}}.
++1. (((
++Erläutere allgemein:
++
++{{formula}}
++M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
++{{/formula}}
++
++Beziehe diese Aussage auf die drei gegebenen Abstände.
  )))
--1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
--)))
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Sonnensegel" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Baden-Württemberg: berufliche Gymnasien, Abitur 2023, Teil 4 Vektorielle Geometrie" niveau=g zeit="9"}}
--Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
++{{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
++Gegeben seien zwei windschiefe Geraden
++{{formula}}
++g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1
++{{/formula}}
++
++und
++
++{{formula}}
++g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2.
++{{/formula}}
++
++Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.
++
  (%class=abc%)
--1. (((Zeichne die Punkte und ihren Verbindungsvektor in ein Koordinatensystem ein.
++1. (((
++Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
++
++Zeige, dass die Ebene
++
++{{formula}}
++E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2
++{{/formula}}
++
++die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
  )))
--1. (((Berechne den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
++1. (((
++Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
  )))
--1. (((Ein Mitschüler behauptet:
++1. (((
++Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
--„Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
++{{formula}}
++d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
++{{/formula}}
++)))
++1. (((
++Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
--Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie notfalls. Untersuche dazu den Fall {{formula}}r=-2{{/formula}}: Bestimme {{formula}}K{{/formula}}, den Vektor {{formula}}\overrightarrow{PK}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;K){{/formula}}.
++{{formula}}
++d(g_2;E)=d(P_2;E).
++{{/formula}}
  )))
++1. (((
++Fasse die Rückführung zusammen:
++
++{{formula}}
++d(g_1;g_2)=d(P_2;E)
++{{/formula}}
++
++mit
++
++{{formula}}
++E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2.
++{{/formula}}
++
++Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
++)))
  {{/aufgabe}}

Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

Zusammenfassung

Details

Hauptnavigation

Suchen

Zuletzt geändert

Wikis

unfertig	fertig
● ● ● ● ● ● ●