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Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2026/05/12 19:46
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.dirktebbe
1 +XWiki.martinrathgeb
Inhalt
... ... @@ -1,42 +1,89 @@
1 1  {{seiteninhalt/}}
2 2  
3 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen. {{niveau}}g{{/niveau}}
3 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen.
4 4  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen. {{niveau}}e{{/niveau}}
5 -[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
5 +[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum (Quader, Pyramide mit Grundfläche in Koordinatenebene) berechnen.
6 +[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum (Quader, Pyramide) berechnen. {{niveau}}e{{/niveau}}
6 6  
7 -{{aufgabe id="Abstand Punkt Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb" niveau=g zeit="9"}}
8 +== Abstände ==
9 +
10 +{{aufgabe id="Abstand Punkt Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb" zeit="10"}}
8 8  Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
9 9  
10 10  (%class=abc%)
11 -1. (((Zeichne die Punkte und ihren Verbindungsvektor in ein Koordinatensystem ein.
14 +1. (((
15 +Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
12 12  )))
13 -1. (((Berechne den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
17 +1. (((
18 +Zeichne die Punkte {{formula}}P{{/formula}}, {{formula}}Q{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}.
19 +
20 +Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
14 14  )))
15 -1. (((Ein Mitschüler behauptet:
22 +1. (((
23 +Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist wie {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
24 +)))
25 +1. (((
26 +Ein Mitschüler behauptet: „Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
16 16  
17 -„Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
28 +Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie gegebenenfalls. Untersuche dazu den Fall {{formula}}r=-2{{/formula}}: Bestimme {{formula}}K{{/formula}}, den Vektor {{formula}}\overrightarrow{PK}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;K){{/formula}}.
29 +)))
30 +{{/aufgabe}}
18 18  
19 -Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie notfalls. Untersuche dazu den Fall {{formula}}r=-2{{/formula}}: Bestimme {{formula}}K{{/formula}}, den Vektor {{formula}}\overrightarrow{PK}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;K){{/formula}}.
32 +{{aufgabe id="Abstand Punkt Koordinatenebene" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="8"}}
33 +Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|4){{/formula}} und die Koordinatenebene {{formula}}Z:\ z=0{{/formula}}.
34 +
35 +(%class=abc%)
36 +1. (((
37 +Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Z){{/formula}}.
20 20  )))
39 +1. (((
40 +Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
41 +
42 +Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
43 +)))
44 +1. (((
45 +Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}Z{{/formula}} doppelt so groß ist.
46 +)))
21 21  {{/aufgabe}}
22 22  
23 -{{aufgabe id="Abstand Punkt Koordinatenebene" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=g zeit="8"}}
24 -Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|4){{/formula}} und die Koordinatenebene
49 +{{aufgabe id="Lotfußpunkt auf Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="10"}}
50 +Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
25 25  
26 -{{formula}}Z:\ z=0.{{/formula}}
52 +{{formula}}
53 +g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
54 +{{/formula}}
27 27  
28 28  (%class=abc%)
29 29  1. (((
30 -Gib den Abstand {{formula}}d(P;Z){{/formula}} an.
58 +Gib einen allgemeinen Punkt {{formula}}G_r{{/formula}} der Geraden {{formula}}g{{/formula}} in Koordinaten an.
31 31  )))
32 32  1. (((
33 -Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}}, die Ebene {{formula}}Z{{/formula}} und drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
61 +Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PG_r}{{/formula}}.
62 +)))
63 +1. (((
64 +Berechne dasjenige {{formula}}r_0{{/formula}}, für das der Vektor {{formula}}\overrightarrow{PG_{r_0}}{{/formula}} senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden {{formula}}g{{/formula}} steht, und erläutere, weshalb dafür gilt: {{formula}}d(P;G_{r_0})=d(P;g){{/formula}}.
65 +)))
66 +{{/aufgabe}}
34 34  
35 -Beschreibe den Ort beziehungsweise die Orte aller Punkte mit diesem Abstand zu {{formula}}Z{{/formula}}.
68 +{{aufgabe id="Abstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="10"}}
69 +Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
70 +
71 +{{formula}}
72 +g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
73 +{{/formula}}
74 +
75 +(%class=abc%)
76 +1. (((
77 +Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;g){{/formula}}.
36 36  )))
37 37  1. (((
38 -Beschreibe den Ort beziehungsweise die Orte aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}Z{{/formula}} halb so groß ist wie {{formula}}d(P;Z){{/formula}}.
80 +Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}}, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
81 +
82 +Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
39 39  )))
84 +1. (((
85 +Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}g{{/formula}} doppelt so groß ist.
86 +)))
40 40  {{/aufgabe}}
41 41  
42 42  {{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
... ... @@ -76,7 +76,7 @@
76 76  {{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
77 77  Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
78 78  
79 -Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
126 +Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
80 80  
81 81  (%class=abc%)
82 82  1. (((
... ... @@ -124,18 +124,67 @@
124 124  )))
125 125  {{/aufgabe}}
126 126  
127 -{{aufgabe id="Sonnensegel" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Baden-Württemberg: berufliche Gymnasien, Abitur 2023, Teil 4 Vektorielle Geometrie" niveau=g zeit="9"}}
128 -Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
174 +{{aufgabe id="Sonnenegel" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Baden Württemberg: berufliche Gymnasium, Abitur 2023 Teil 4 Vektorgeometrie" niveau=e zeit="25"}}
175 +Die Punkte {{formula}}A(2|2|4){{/formula}}, {{formula}}B(3|2|2){{/formula}} und {{formula}}C(4|5|3){{/formula}} sind die Eckpunkte eines über dem Boden ({{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene) aufgespannten ebenen Sonnensegels.
176 +Zur Befestigung dient unter anderem ein Pfosten, der sich durch die Strecke {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 4,5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}; 0 \le t \le 1{{/formula}}, beschreiben lässt.
177 +Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
178 +(%class=abc%)
129 129  
180 +1. (((Geben Sie die Länge des Pfosten an.
181 +)))
182 +1. (((Zeigen Sie, dass das Sonnensegel in der Ebene mit der Gleichung {{formula}}2x_1-x_2+x_3=6{{/formula}} liegt.
183 +Bestimmen Sie den Abstand des Sonnensegels zum Boden.
184 +)))
185 +1. (((Der Punkt C ist mit einem Seil an dem Pfosten befestigt. Beurteilen Sie, ob ein Seil der Länge 1,85 m dafür ausreichend ist.
186 +)))
187 +{{/aufgabe}}
188 +
189 +{{aufgabe id="Dreiecksflächen" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Dirk Tebbe, Martin Rathgeb nach BW BG, Abitur 2025 Aufgabe 5 Vektorgeometrie" niveau=e zeit="15"}}
190 +Gegeben ist die Ebene {{formula}}E: 2x_1 − x_2 + 2x_3 = 4{{/formula}}. Ihre Spurpunkte bilden das Dreieck {{formula}}ABC{{/formula}}.
191 +
130 130  (%class=abc%)
131 -1. (((Zeichne die Punkte und ihren Verbindungsvektor in ein Koordinatensystem ein.
193 +1. Zeige, dass das Dreieck gleichschenklig ist.
194 +1. Berechne den Umfang und die Fläche des Dreiecks.
195 +1. Ermitte die Gleichung einer Geraden, die dieses Dreieck in zwei Teildreiecke mit gleichem Flächeninhalt zerlegt.
196 +{{/aufgabe}}
197 +
198 +{{aufgabe id="Spiegelung an Punkt" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="16"}}
199 +Gegeben sind die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}}, {{formula}}C{{/formula}} sowie ein Punkt {{formula}}S{{/formula}}. Untersuche die Spiegelung von {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}g=g(A;B){{/formula}} und {{formula}}E=\text{E}(A;B;C){{/formula}} an {{formula}}S{{/formula}} unter folgenden Aspekten.
200 +
201 +(%class=abc%)
202 +1. (((
203 +Fertige eine Skizze der Situation an und bezeichne die Spiegelbilder mit {{formula}}A'{{/formula}}, {{formula}}g'{{/formula}} und {{formula}}E'{{/formula}}.
132 132  )))
133 -1. (((Berechne den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
205 +1. (((
206 +Beschreibe die Lage der Spiegelbilder. Verwende dafür z.B. die Stichworte: Mittelpunkt, Gerade durch zwei Punkte, Ebene durch drei Punkte, Parallelität.
134 134  )))
135 -1. (((Ein Mitschüler behauptet:
208 +1. (((
209 +Stelle die Spiegelbilder algebraisch dar:
136 136  
137 -„Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
211 +* Gib eine Darstellung des Punktes {{formula}}A'{{/formula}} an.
212 +* Gib eine Parameterdarstellung von {{formula}}g'{{/formula}} an.
213 +* Gib eine Parameterdarstellung von {{formula}}E'{{/formula}} an.
214 +)))
215 +{{/aufgabe}}
138 138  
139 -Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie notfalls. Untersuche dazu den Fall {{formula}}r=-2{{/formula}}: Bestimme {{formula}}K{{/formula}}, den Vektor {{formula}}\overrightarrow{PK}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;K){{/formula}}.
217 +== Volumina ==
218 +
219 +{{aufgabe id="Quader durch Vektoren" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Abituraufgabe, überarbeitet" zeit="10"}}
220 +Die Vektoren
221 +
222 +{{formula}}
223 +\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix},\quad
224 +\vec{b}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix},\quad
225 +\vec{c}_t=\begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix}
226 +{{/formula}}
227 +
228 +spannen für jeden Wert von {{formula}}t \in \mathbb{R}\setminus\{0\}{{/formula}} einen Körper auf. Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von {{formula}}t{{/formula}}.
229 +
230 +(%class=abc%)
231 +1. (((
232 +Zeige, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
140 140  )))
234 +1. (((
235 +Bestimme diejenigen Werte von {{formula}}t{{/formula}}, für die der zugehörige Quader das Volumen {{formula}}15{{/formula}} besitzt.
236 +)))
141 141  {{/aufgabe}}