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Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2026/05/12 19:46
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am 2026/04/27 17:37
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.dirktebbe
1 +XWiki.martinrathgeb
Inhalt
... ... @@ -1,73 +1,16 @@
1 1  {{seiteninhalt/}}
2 2  
3 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen. {{niveau}}g{{/niveau}}
4 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen. {{niveau}}e{{/niveau}}
3 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
5 5  [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
6 6  
7 -{{aufgabe id="Abstand Punkt Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb" niveau=g zeit="10"}}
8 -Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
9 -
6 +{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7 +Gegeben sind zwei Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
10 10  (%class=abc%)
11 -1. (((
12 -Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
13 -)))
14 -1. (((
15 -Zeichne die Punkte {{formula}}P{{/formula}}, {{formula}}Q{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}.
16 -
17 -Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
18 -)))
19 -1. (((
20 -Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist wie {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
21 -)))
22 -1. (((
23 -Ein Mitschüler behauptet:
24 -
25 -„Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
26 -
27 -Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie gegebenenfalls. Untersuche dazu den Fall {{formula}}r=-2{{/formula}}: Bestimme {{formula}}K{{/formula}}, den Vektor {{formula}}\overrightarrow{PK}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;K){{/formula}}.
28 -)))
9 +1. Bestimme den Abstand //d(P;Q)// zwischen //Q// und //P//.
10 +1. Gib einen Punkt //R// an, der ebenfalls den Abstand //d// zu //P// hat.
11 +1. Interpretiere den Abstand als Länge eines Verbindungsvektors.
29 29  {{/aufgabe}}
30 30  
31 -{{aufgabe id="Abstand Punkt Koordinatenebene" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=g zeit="8"}}
32 -Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|4){{/formula}} und die Koordinatenebene
33 -
34 -{{formula}}Z:\ z=0.{{/formula}}
35 -
36 -(%class=abc%)
37 -1. (((
38 -Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Z){{/formula}}.
39 -)))
40 -1. (((
41 -Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
42 -
43 -Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
44 -)))
45 -1. (((
46 -Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}Z{{/formula}} doppelt so groß ist.
47 -)))
48 -{{/aufgabe}}
49 -
50 -{{aufgabe id="Abstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=g zeit="10"}}
51 -Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
52 -
53 -{{formula}}
54 -g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
55 -{{/formula}}
56 -
57 -(%class=abc%)
58 -1. (((
59 -Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;g){{/formula}}.
60 -)))
61 -1. (((
62 -Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}}, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
63 -
64 -Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
65 -)))
66 -1. (((
67 -Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}g{{/formula}} doppelt so groß ist.
68 -)))
69 -{{/aufgabe}}
70 -
71 71  {{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
72 72  Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
73 73  
... ... @@ -77,10 +77,14 @@
77 77  
78 78  (%class=abc%)
79 79  1. (((
80 -Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
23 +Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
24 +
25 +Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
81 81  )))
82 82  1. (((
83 -Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
28 +Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}.
29 +
30 +Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
84 84  )))
85 85  1. (((
86 86  Untersuche die Gleichheitsfälle:
... ... @@ -91,7 +91,9 @@
91 91  Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
92 92  )))
93 93  1. (((
94 -Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
41 +Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
42 +
43 +Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
95 95  )))
96 96  1. (((
97 97  Erläutere folgende Aussage geometrisch:
... ... @@ -105,17 +105,25 @@
105 105  {{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
106 106  Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
107 107  
108 -Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
57 +Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
58 +Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
59 +{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
60 +beschrieben.
61 +Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
109 109  
110 110  (%class=abc%)
111 111  1. (((
112 -Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
65 +Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
66 +Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
67 +
68 +Markiere in deiner Skizze:
113 113  * die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
114 114  * den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
115 115  * eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
116 116  )))
117 117  1. (((
118 -Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
74 +Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
75 +Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
119 119  )))
120 120  1. (((
121 121  Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
... ... @@ -141,17 +141,42 @@
141 141  Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
142 142  
143 143  (%class=abc%)
144 -1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist. Zeige, dass die Ebene {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}} die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
101 +1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
102 +
103 +Zeige, dass die Ebene
104 +
105 +{{formula}}
106 +E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2
107 +{{/formula}}
108 +
109 +die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
145 145  )))
146 146  1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
147 147  )))
148 -1. (((Erkläre geometrisch, weshalb {{formula}}d(g_1;g_2)=d(g_2;E){{/formula}} gilt.
113 +1. (((Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
114 +
115 +{{formula}}
116 +d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
117 +{{/formula}}
149 149  )))
150 -1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann: {{formula}}d(g_2;E)=d(P_2;E){{/formula}}.
119 +1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
120 +
121 +{{formula}}
122 +d(g_2;E)=d(P_2;E).
123 +{{/formula}}
151 151  )))
152 -1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
153 -)))
154 -{{/aufgabe}}
125 +1. (((Fasse die Rückführung zusammen:
155 155  
127 +{{formula}}
128 +d(g_1;g_2)=d(P_2;E)
129 +{{/formula}}
156 156  
131 +mit
157 157  
133 +{{formula}}
134 +E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2.
135 +{{/formula}}
136 +
137 +Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
138 +)))
139 +{{/aufgabe}}