Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

Zusammenfassung

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,109 +1,39 @@
1	1	{{seiteninhalt/}}
2	2
3		-[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen. {{niveau}}g{{/niveau}}
4		-[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen. {{niveau}}e{{/niveau}}
	3	+[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
5	5	[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
6	6
7		-{{aufgabe id="Abstand Punkt Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb" niveau=g zeit="10"}}
8		-Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
9		-
	6	+{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
	7	+Gegeben sind zwei Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
10	10	(%class=abc%)
11		-1. (((
12		-Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
13		-)))
14		-1. (((
15		-Zeichne die Punkte {{formula}}P{{/formula}}, {{formula}}Q{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}.
16		-
17		-Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
18		-)))
19		-1. (((
20		-Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist wie {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
21		-)))
22		-1. (((
23		-Ein Mitschüler behauptet:
24		-
25		-„Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
26		-
27		-Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie gegebenenfalls. Untersuche dazu den Fall {{formula}}r=-2{{/formula}}: Bestimme {{formula}}K{{/formula}}, den Vektor {{formula}}\overrightarrow{PK}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;K){{/formula}}.
28		-)))
	9	+1. Bestimme den Abstand //d(P;Q)// zwischen //Q// und //P//.
	10	+1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
	11	+1. Interpretiere den Abstand als Länge eines Verbindungsvektors.
29	29	{{/aufgabe}}
30	30
31		-{{aufgabe id="Abstand Punkt Koordinatenebene" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=g zeit="8"}}
32		-Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|4){{/formula}} und die Koordinatenebene
	14	+{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
	15	+Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
33	33
34		-{{formula}}Z:\ z=0.{{/formula}}
35		-
36		-(%class=abc%)
37		-1. (((
38		-Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Z){{/formula}}.
39		-)))
40		-1. (((
41		-Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
42		-
43		-Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
44		-)))
45		-1. (((
46		-Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}Z{{/formula}} doppelt so groß ist.
47		-)))
48		-{{/aufgabe}}
49		-
50		-{{aufgabe id="Lotfußpunkt auf Gerade vorbereiten" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=g zeit="10"}}
51		-Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
52		-
53	53	{{formula}}
54		-g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
	18	+d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
55	55	{{/formula}}
56	56
57	57	(%class=abc%)
58	58	1. (((
59		-Gib einen allgemeinen Punkt {{formula}}G_r{{/formula}} der Geraden {{formula}}g{{/formula}} in Koordinaten an.
60		-)))
61		-1. (((
62		-Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PG_r}{{/formula}}.
63		-)))
64		-1. (((
65		-Bestimme den Wert von {{formula}}r{{/formula}}, für den der Vektor {{formula}}\overrightarrow{PG_r}{{/formula}} senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden {{formula}}g{{/formula}} steht.
	23	+Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
66	66
67		-Erläutere, warum der zugehörige Punkt {{formula}}G_r{{/formula}} der Lotfußpunkt von {{formula}}P{{/formula}} auf {{formula}}g{{/formula}} ist.
	25	+Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
68	68	)))
69		-{{/aufgabe}}
70		-
71		-{{aufgabe id="Abstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=g zeit="10"}}
72		-Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
73		-
74		-{{formula}}
75		-g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
76		-{{/formula}}
77		-
78		-(%class=abc%)
79	79	1. (((
80		-Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;g){{/formula}}.
81		-)))
82		-1. (((
83		-Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}}, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
	28	+Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
84	84
85		-Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
86		-)))
87		-1. (((
88		-Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}g{{/formula}} doppelt so groß ist.
89		-)))
90		-{{/aufgabe}}
91		-
92		-{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
93		-Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
94		-
95	95	{{formula}}
96		-d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
	31	+d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
97	97	{{/formula}}
98	98
99		-(%class=abc%)
100		-1. (((
101		-Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
	34	+Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
102	102	)))
103	103	1. (((
104		-Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
105		-)))
106		-1. (((
107	107	Untersuche die Gleichheitsfälle:
108	108
109	109	* Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
...	...	@@ -112,14 +112,18 @@
112	112	Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
113	113	)))
114	114	1. (((
115		-Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
	45	+Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
	46	+
	47	+Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
116	116	)))
117	117	1. (((
118		-Erläutere folgende Aussage geometrisch:
	50	+Formuliere eine allgemeine Aussage:
119	119
120	120	{{formula}}
121	121	M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
122	122	{{/formula}}
	55	+
	56	+Erläutere diese Aussage geometrisch.
123	123	)))
124	124	{{/aufgabe}}
125	125
...	...	@@ -126,17 +126,25 @@
126	126	{{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
127	127	Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
128	128
129		-Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
	63	+Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
	64	+Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
	65	+{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
	66	+beschrieben.
	67	+Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
130	130
131	131	(%class=abc%)
132	132	1. (((
133		-Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
	71	+Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
	72	+Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
	73	+
	74	+Markiere in deiner Skizze:
134	134	* die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
135	135	* den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
136	136	* eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
137	137	)))
138	138	1. (((
139		-Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
	80	+Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
	81	+Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
140	140	)))
141	141	1. (((
142	142	Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
...	...	@@ -162,30 +162,42 @@
162	162	Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
163	163
164	164	(%class=abc%)
165		-1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist. Zeige, dass die Ebene {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}} die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
	107	+1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
	108	+
	109	+Zeige, dass die Ebene
	110	+
	111	+{{formula}}
	112	+E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2
	113	+{{/formula}}
	114	+
	115	+die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
166	166	)))
167	167	1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
168	168	)))
169		-1. (((Erkläre geometrisch, weshalb {{formula}}d(g_1;g_2)=d(g_2;E){{/formula}} gilt.
	119	+1. (((Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
	120	+
	121	+{{formula}}
	122	+d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
	123	+{{/formula}}
170	170	)))
171		-1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann: {{formula}}d(g_2;E)=d(P_2;E){{/formula}}.
	125	+1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
	126	+
	127	+{{formula}}
	128	+d(g_2;E)=d(P_2;E).
	129	+{{/formula}}
172	172	)))
173		-1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
174		-)))
175		-{{/aufgabe}}
	131	+1. (((Fasse die Rückführung zusammen:
176	176
177		-{{aufgabe id="Sonnenegel" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Baden Württemberg: berufliche Gymnasium, Abitur 2023 Teil 4 Vektorgeometrie" niveau=e zeit="25"}}
178		-Die Punkte {{formula}}A(2|2|4){{/formula}}, {{formula}}B(3|2|2){{/formula}} und {{formula}}C(4|5|3){{/formula}} sind die Eckpunkte eines über dem Boden ({{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene) aufgespannten ebenen Sonnensegels.
179		-Zur Befestigung dient unter anderem ein Pfosten, der sich durch die Strecke {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 4,5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}; 0 \le t \le 1{{/formula}}, beschreiben lässt.
180		-Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
181		-(%class=abc%)
	133	+{{formula}}
	134	+d(g_1;g_2)=d(P_2;E)
	135	+{{/formula}}
182	182
183		-1. (((Geben Sie die Länge des Pfosten an.
184		-)))
185		-1. (((Zeigen Sie, dass das Sonnensegel in der Ebene mit der Gleichung {{formula}}2x_1-x_2+x_3=6{{/formula}} liegt.
186		-Bestimmen Sie den Abstand des Sonnensegels zum Boden.
	137	+mit
	138	+
	139	+{{formula}}
	140	+E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2.
	141	+{{/formula}}
	142	+
	143	+Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
187	187	)))
188		-1. (((Der Punkt C ist mit einem Seil an dem Pfosten befestigt. Beurteilen Sie, ob ein Seil der Länge 1,85 m dafür ausreichend ist.
189		-)))
190	190	{{/aufgabe}}
191		-