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Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2026/05/12 19:46
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am 2026/04/28 13:30
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am 2026/04/27 17:36
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,110 +1,39 @@
1 1  {{seiteninhalt/}}
2 2  
3 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen. {{niveau}}g{{/niveau}}
4 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen. {{niveau}}e{{/niveau}}
3 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
5 5  [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
6 6  
7 -{{aufgabe id="Abstand Punkt Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb" niveau=g zeit="10"}}
8 -Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
9 -
6 +{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7 +Gegeben sind zwei Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
10 10  (%class=abc%)
11 -1. (((
12 -Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
13 -)))
14 -1. (((
15 -Zeichne die Punkte {{formula}}P{{/formula}}, {{formula}}Q{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}.
16 -
17 -Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
18 -)))
19 -1. (((
20 -Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist wie {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
21 -)))
22 -1. (((
23 -Ein Mitschüler behauptet:
24 -
25 -„Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
26 -
27 -Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie gegebenenfalls. Untersuche dazu den Fall {{formula}}r=-2{{/formula}}: Bestimme {{formula}}K{{/formula}}, den Vektor {{formula}}\overrightarrow{PK}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;K){{/formula}}.
28 -)))
9 +1. Bestimme den Abstand //d(P;Q)// zwischen //Q// und //P//.
10 +1. Gib einen Punkt //R// an, der ebenfalls den Abstand //d// zu //P// hat.
11 +1. Interpretiere den Abstand als Länge eines Verbindungsvektors.
29 29  {{/aufgabe}}
30 30  
31 -{{aufgabe id="Abstand Punkt Koordinatenebene" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=g zeit="8"}}
32 -Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|4){{/formula}} und die Koordinatenebene
14 +{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
15 +Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
33 33  
34 -{{formula}}Z:\ z=0.{{/formula}}
35 -
36 -(%class=abc%)
37 -1. (((
38 -Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Z){{/formula}}.
39 -)))
40 -1. (((
41 -Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
42 -
43 -Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
44 -)))
45 -1. (((
46 -Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}Z{{/formula}} doppelt so groß ist.
47 -)))
48 -{{/aufgabe}}
49 -
50 -{{aufgabe id="Lotfußpunkt auf Gerade vorbereiten" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=g zeit="10"}}
51 -Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
52 -
53 53  {{formula}}
54 -g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
18 +d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
55 55  {{/formula}}
56 56  
57 57  (%class=abc%)
58 58  1. (((
59 -Gib einen allgemeinen Punkt {{formula}}G_r{{/formula}} der Geraden {{formula}}g{{/formula}} in Koordinaten an.
60 -)))
61 -1. (((
62 -Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PG_r}{{/formula}}.
63 -)))
64 -1. (((
65 -Berechne den Wert von {{formula}}r{{/formula}}, für den der Vektor {{formula}}\overrightarrow{PG_r}{{/formula}} senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden {{formula}}g{{/formula}} steht.
23 +Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
66 66  
67 -Erläutere, weshalb für dasjenige {{formula}}G_r{{/formula}} gilt:
68 -{{formula}}d(P;G_r)=d(P;g){{/formula}}.
25 +Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
69 69  )))
70 -{{/aufgabe}}
71 -
72 -{{aufgabe id="Abstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=g zeit="10"}}
73 -Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
74 -
75 -{{formula}}
76 -g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
77 -{{/formula}}
78 -
79 -(%class=abc%)
80 80  1. (((
81 -Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;g){{/formula}}.
82 -)))
83 -1. (((
84 -Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}}, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
28 +Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
85 85  
86 -Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
87 -)))
88 -1. (((
89 -Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}g{{/formula}} doppelt so groß ist.
90 -)))
91 -{{/aufgabe}}
92 -
93 -{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
94 -Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
95 -
96 96  {{formula}}
97 -d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
31 +d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
98 98  {{/formula}}
99 99  
100 -(%class=abc%)
101 -1. (((
102 -Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
34 +Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
103 103  )))
104 104  1. (((
105 -Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
106 -)))
107 -1. (((
108 108  Untersuche die Gleichheitsfälle:
109 109  
110 110  * Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
... ... @@ -113,7 +113,9 @@
113 113  Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
114 114  )))
115 115  1. (((
116 -Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
45 +Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
46 +
47 +Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
117 117  )))
118 118  1. (((
119 119  Erläutere folgende Aussage geometrisch:
... ... @@ -127,17 +127,25 @@
127 127  {{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
128 128  Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
129 129  
130 -Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
61 +Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
62 +Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
63 +{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
64 +beschrieben.
65 +Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
131 131  
132 132  (%class=abc%)
133 133  1. (((
134 -Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
69 +Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
70 +Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
71 +
72 +Markiere in deiner Skizze:
135 135  * die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
136 136  * den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
137 137  * eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
138 138  )))
139 139  1. (((
140 -Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
78 +Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
79 +Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
141 141  )))
142 142  1. (((
143 143  Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
... ... @@ -163,30 +163,42 @@
163 163  Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
164 164  
165 165  (%class=abc%)
166 -1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist. Zeige, dass die Ebene {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}} die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
105 +1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
106 +
107 +Zeige, dass die Ebene
108 +
109 +{{formula}}
110 +E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2
111 +{{/formula}}
112 +
113 +die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
167 167  )))
168 168  1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
169 169  )))
170 -1. (((Erkläre geometrisch, weshalb {{formula}}d(g_1;g_2)=d(g_2;E){{/formula}} gilt.
117 +1. (((Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
118 +
119 +{{formula}}
120 +d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
121 +{{/formula}}
171 171  )))
172 -1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann: {{formula}}d(g_2;E)=d(P_2;E){{/formula}}.
123 +1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
124 +
125 +{{formula}}
126 +d(g_2;E)=d(P_2;E).
127 +{{/formula}}
173 173  )))
174 -1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
175 -)))
176 -{{/aufgabe}}
129 +1. (((Fasse die Rückführung zusammen:
177 177  
178 -{{aufgabe id="Sonnenegel" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Baden Württemberg: berufliche Gymnasium, Abitur 2023 Teil 4 Vektorgeometrie" niveau=e zeit="25"}}
179 -Die Punkte {{formula}}A(2|2|4){{/formula}}, {{formula}}B(3|2|2){{/formula}} und {{formula}}C(4|5|3){{/formula}} sind die Eckpunkte eines über dem Boden ({{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene) aufgespannten ebenen Sonnensegels.
180 -Zur Befestigung dient unter anderem ein Pfosten, der sich durch die Strecke {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 4,5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}; 0 \le t \le 1{{/formula}}, beschreiben lässt.
181 -Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
182 -(%class=abc%)
131 +{{formula}}
132 +d(g_1;g_2)=d(P_2;E)
133 +{{/formula}}
183 183  
184 -1. (((Geben Sie die Länge des Pfosten an.
185 -)))
186 -1. (((Zeigen Sie, dass das Sonnensegel in der Ebene mit der Gleichung {{formula}}2x_1-x_2+x_3=6{{/formula}} liegt.
187 -Bestimmen Sie den Abstand des Sonnensegels zum Boden.
135 +mit
136 +
137 +{{formula}}
138 +E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2.
139 +{{/formula}}
140 +
141 +Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
188 188  )))
189 -1. (((Der Punkt C ist mit einem Seil an dem Pfosten befestigt. Beurteilen Sie, ob ein Seil der Länge 1,85 m dafür ausreichend ist.
190 -)))
191 191  {{/aufgabe}}
192 -