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Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2026/05/12 19:46
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bearbeitet von Martin Rathgeb
am 2026/04/28 14:21
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am 2026/04/28 10:22
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -4,85 +4,18 @@
4 4  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen. {{niveau}}e{{/niveau}}
5 5  [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
6 6  
7 -{{aufgabe id="Abstand Punkt Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb" niveau=g zeit="10"}}
8 -Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
7 +{{aufgabe id="Abstände Punkt Punkt Gerade Ebene" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" niveau=g zeit="16"}}
8 +Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}, die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}{{/formula}} sowie die Koordinatenebene {{formula}}Z :\ z=0{{/formula}}.
9 9  
10 10  (%class=abc%)
11 -1. (((
12 -Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
13 -)))
14 -1. (((
15 -Zeichne die Punkte {{formula}}P{{/formula}}, {{formula}}Q{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}.
16 -
17 -Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
18 -)))
19 -1. (((
20 -Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist wie {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
21 -)))
22 -1. (((
23 -Ein Mitschüler behauptet: „Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
24 -
25 -Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie gegebenenfalls. Untersuche dazu den Fall {{formula}}r=-2{{/formula}}: Bestimme {{formula}}K{{/formula}}, den Vektor {{formula}}\overrightarrow{PK}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;K){{/formula}}.
26 -)))
11 +1. Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
12 +1. Gib einen Punkt {{formula}}R{{/formula}} an, der von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} hat.
13 +1. Bestimme den Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von der Ebene {{formula}}Z{{/formula}}.
14 +1. Gib einen Punkt {{formula}}P_1{{/formula}} an, dessen Abstand von der Ebene {{formula}}Z{{/formula}} doppelt so groß ist wie der von {{formula}}P{{/formula}}.
15 +1. Bestimme den Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von der Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
16 +1. Gib einen Punkt {{formula}}P_2{{/formula}} an, dessen Abstand von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} gleich dem Abstand von {{formula}}P{{/formula}} ist.
27 27  {{/aufgabe}}
28 28  
29 -{{aufgabe id="Abstand Punkt Koordinatenebene" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=g zeit="8"}}
30 -Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|4){{/formula}} und die Koordinatenebene {{formula}}Z:\ z=0{{/formula}}.
31 -
32 -(%class=abc%)
33 -1. (((
34 -Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Z){{/formula}}.
35 -)))
36 -1. (((
37 -Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
38 -
39 -Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
40 -)))
41 -1. (((
42 -Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}Z{{/formula}} doppelt so groß ist.
43 -)))
44 -{{/aufgabe}}
45 -
46 -{{aufgabe id="Lotfußpunkt auf Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=g zeit="10"}}
47 -Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
48 -
49 -{{formula}}
50 -g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
51 -{{/formula}}
52 -
53 -(%class=abc%)
54 -1. (((
55 -Gib einen allgemeinen Punkt {{formula}}G_r{{/formula}} der Geraden {{formula}}g{{/formula}} in Koordinaten an.
56 -)))
57 -1. (((
58 -Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PG_r}{{/formula}}.
59 -)))
60 -1. (((
61 -Berechne dasjenige {{formula}}r_0{{/formula}}, für das der Vektor {{formula}}\overrightarrow{PG_{r_0}}{{/formula}} senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden {{formula}}g{{/formula}} steht, und erläutere, weshalb dafür gilt: {{formula}}d(P;G_{r_0})=d(P;g){{/formula}}.
62 -)))
63 -{{/aufgabe}}
64 -
65 -{{aufgabe id="Abstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=g zeit="10"}}
66 -Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
67 -
68 -{{formula}}
69 -g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
70 -{{/formula}}
71 -
72 -(%class=abc%)
73 -1. (((
74 -Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;g){{/formula}}.
75 -)))
76 -1. (((
77 -Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}}, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
78 -
79 -Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
80 -)))
81 -1. (((
82 -Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}g{{/formula}} doppelt so groß ist.
83 -)))
84 -{{/aufgabe}}
85 -
86 86  {{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
87 87  Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
88 88  
... ... @@ -167,50 +167,3 @@
167 167  1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
168 168  )))
169 169  {{/aufgabe}}
170 -
171 -{{aufgabe id="Sonnenegel" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Baden Württemberg: berufliche Gymnasium, Abitur 2023 Teil 4 Vektorgeometrie" niveau=e zeit="25"}}
172 -Die Punkte {{formula}}A(2|2|4){{/formula}}, {{formula}}B(3|2|2){{/formula}} und {{formula}}C(4|5|3){{/formula}} sind die Eckpunkte eines über dem Boden ({{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene) aufgespannten ebenen Sonnensegels.
173 -Zur Befestigung dient unter anderem ein Pfosten, der sich durch die Strecke {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 4,5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}; 0 \le t \le 1{{/formula}}, beschreiben lässt.
174 -Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
175 -(%class=abc%)
176 -
177 -1. (((Geben Sie die Länge des Pfosten an.
178 -)))
179 -1. (((Zeigen Sie, dass das Sonnensegel in der Ebene mit der Gleichung {{formula}}2x_1-x_2+x_3=6{{/formula}} liegt.
180 -Bestimmen Sie den Abstand des Sonnensegels zum Boden.
181 -)))
182 -1. (((Der Punkt C ist mit einem Seil an dem Pfosten befestigt. Beurteilen Sie, ob ein Seil der Länge 1,85 m dafür ausreichend ist.
183 -)))
184 -{{/aufgabe}}
185 -
186 -{{aufgabe id="Dreiecksflächen" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Baden Württemberg: berufliche Gymnasium, Abitur 2025 Aufgabe 5 Vektorgeometrie" niveau=e zeit="15"}}
187 -Die Ebene //E// ist gegeben durch {{formula}}E: 2x_1 − x_2 + 2x_3 = 4{{/formula}}.
188 -Die Schnittpunkte von //E// mit den Koordinatenachsen bilden die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks.
189 -Ermitte die Gleichung einer Geraden, die dieses Dreieck in zwei Teildreiecke mit gleichem Flächeninhalt zerlegt.
190 -{{/aufgabe}}
191 -
192 -{{aufgabe id="Spiegelung an einem Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="12"}}
193 -Gegeben sind die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}}, {{formula}}C{{/formula}} sowie ein Punkt {{formula}}S{{/formula}}.
194 -
195 -(%class=abc%)
196 -1. (((
197 -Untersuche die Spiegelung der folgenden Objekte an {{formula}}S{{/formula}}:
198 -
199 -* den Punkt {{formula}}A{{/formula}},
200 -* die Gerade {{formula}}g=\overline{AB}{{/formula}},
201 -* die Ebene {{formula}}E=\text{E}(A;B;C){{/formula}}.
202 -
203 -Fertige eine Skizze an und bezeichne die Spiegelbilder mit {{formula}}A'{{/formula}}, {{formula}}g'{{/formula}} und {{formula}}E'{{/formula}}.
204 -
205 -Beschreibe die Lage der Spiegelbilder.
206 -)))
207 -1. (((
208 -Stelle die Spiegelung algebraisch dar:
209 -
210 -* Bestimme den Punkt {{formula}}A'{{/formula}}.
211 -* Stelle die Gerade {{formula}}g'{{/formula}} in Parameterform dar.
212 -* Stelle die Ebene {{formula}}E'{{/formula}} in Parameterform dar und gib zusätzlich eine Gleichung in Koordinatenform an.
213 -)))
214 -{{/aufgabe}}
215 -
216 -